【正文】 b=(a*b)1=b1*a1=b*a，所以運(yùn)算*滿足交換律。（2）a,bA,因?yàn)橛桑?），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。證明： 設(shè)f 是G的自同構(gòu)。故運(yùn)算b)1=(b因?yàn)镠H1=且HH1=G，HH2=且HH2=G，故H1=GH=H2。對(duì)aG，hHK，有aa1。a1HK。x=xx)= ab), a1h(a的階為n。故G是質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。a,b HK,則a,b H且a,bK。4素?cái)?shù)階循環(huán)群的每個(gè)非單位元都是生成元。4若S,是可交換獨(dú)異點(diǎn)，T為S中所有等冪元的集合，則T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。又由于akm=e，n|km。從而|a|mkn。從而G只有兩個(gè)生成元a和a1。（2）因?yàn)閧e}H，故H的生成元為am （m0）。所以是G的一個(gè)d階子群。d=。又c1=(h(a))1=h(a1)且a1∈H，故c1∈h(H)。故|h(a)|=|a|。5證明：在同構(gòu)意義下，只有兩個(gè)四階群，且都是循環(huán)群。5在一個(gè)群G,*中，若G中的元素a的階是k，即|a|=k，則a1的階也是k。證明：用反證法證明。從而假設(shè)錯(cuò)誤，得證A=G或B=G。解：設(shè)S關(guān)于*的單位元為(a,b)。 所以(a,b)關(guān)于*的逆元為(,)。因?yàn)镠、K是G的子群，所以h1∈H且k1∈K。綜上所述，R是G上的等價(jià)關(guān)系。故a1HaH 。由于a1h(a1)1∈H，所以b∈aH。對(duì)bG，記方程y*a=b的惟一解為y。eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。b*c=c*b=e。b）1=b1因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即a1b1 ,d=a2a2)b3。b2=(a1dHK。6設(shè)H和K都 是G的不變子群。h1)從而HK是G的子群。k)h6設(shè)G,*為群，a,b,cG。故由元素階的定義有k|m。a1HK。a1)。a1=a同理可證，KHHK。k=(h因?yàn)镠K=KH，所以c1HK。b2K。（a3a2KH=KH，所以存在a3H,b3K ,使得b1b2)=(( a1HK=KH。因?yàn)閏=（a1b。 則b*d=(b*c)*b=e*b=b。對(duì)bG，記方程a*x=b的惟一解為x。即a*eR=a。反之對(duì)b∈Ha，則h∈H，使得b=ha。因?yàn)閔1∈H，所以（h1）1= ah1a1∈aHa1。從而aRc。即R是自反的。根據(jù)逆元的定義，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。因?yàn)镚 是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對(duì)互為逆元的元素之積的積，從而結(jié)果為e。同理可證a*bB。5在一個(gè)群G,*中，若A和B 都是G的子群。從而aba, abb, abe,故ab=c。則H是G的子群且|H|=m。因?yàn)閔是單一同態(tài)，所以am=e1。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。若d=1 ,則結(jié)論顯然成立。從而H中的元素是兩兩不同的，易證HG。從而b=(am)q。從而km=1，即k=1,m=1或k=1,m=1。證明：aG，由封閉性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨設(shè)為ak=am,km。由n和p的定義，顯然有(ak)p=e。即a的階就是p，即群G的階。故HK是G的子群，從而也是H和K的子群。則HK是一個(gè)元素個(gè)數(shù)大于1的有限集。這與已知矛盾。證明：若G是平凡群，則結(jié)論顯然成立。a）再證C（G）是G的不變子群。b=xx= a證明：先證C（G）是G的子群。從而aa1a證明：HK也是G 的不變子群。4若群G,＊的子群H,＊滿足|G|＝2|H|，則H,＊一定是群G,＊的正規(guī)子群。對(duì)a，bG，因?yàn)镚是可交換群，故f(aa)1)1=b是群，作f:GG,aa1。因?yàn)?是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。3設(shè)群G,＊除單位元外每個(gè)元素的階均為2，則G,＊是交換群。b=(ab))。(bb2。b))b）2=(a由于*滿足消去律，故x1=x2。 因?yàn)閍*e=a，所以a*a=a*e。因?yàn)槿我浑A大于2 的元素和它的逆元的階相等。 則e1=e1*e2=e2。證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個(gè)的群G,中存在零元。3設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運(yùn)算*的單位元和零元，如果|A|1，則e0。故Sa,的子半群。（3）對(duì)aI，因?yàn)閍*（4a）=a+4a2=2=e=4a+a2=(4a)*a。這與已知矛盾。a2)=ba)(ab))b= a3試證a故階數(shù)大于2 的元素成對(duì)出現(xiàn)，從而其個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。2證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。由于ca) d。令H={xG|a試問(wèn)I,*是循環(huán)群?jiǎn)幔拷猓篒,*是循環(huán)群。解： 因?yàn)閨C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個(gè)：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。上確界是e，下確界是c。(11) 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；(12) 分別求出下列集合關(guān)于的極大（?。┰?、最大（?。┰?、上（下）界及上（下）確界（若存在的話）：(a) A。下列哪個(gè)是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。1設(shè)A={1,2,3},寫(xiě)出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。 R=R1，y,xR。證明：x,yR ，R是對(duì)稱(chēng)的，yRx。從而RS是傳遞的。從而RS是自反的。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。(2) 不成立。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。故B=C。即B=C。從而xA。證明：若B=，則BB=。 本題即證明 A（BC），CA，DB，AD。(3) 若D隊(duì)獲亞軍，則B隊(duì)不能獲亞軍。所以P→QP→(PQ)。答：（1） b (2) b4H,是G,的子群的充分必要條件是( )。(1) 自反的　　(2) 對(duì)稱(chēng)的　　 (3) 傳遞的，對(duì)稱(chēng)的 (4) 傳遞的答：（2）（代數(shù)結(jié)構(gòu)部分）3設(shè)A={2,4,6}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=max{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )。則命題“并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”的符號(hào)化表示為（ ）?！?3) 你喜歡唱歌嗎？ (4) 若7+8＞18，則三角形有4條邊。 一、選擇或填空（數(shù)理邏輯部分）下列哪些公式為永真蘊(yùn)含式？(　　　)(1)Q=Q→P (2)Q=P→Q (3)P=P→Q (4)P(PQ)=P 答：（1），（4）下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐PQ)→(Q→R) (2)P→(Q→Q) (3)(PQ)→P (4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）設(shè)有下列公式，請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)是永真蘊(yùn)涵式?( )(1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=PQ (4)P(P→Q)=Q (5) (P→Q)=P (6) P(PQ)=P答：（2），（3），（4），（5），（6）公式x((A(x)174。 (2) 陜西師大是一座工廠。答：P ，QP1令R(x):x是實(shí)數(shù)，Q(x):x是有理數(shù)。答：R的關(guān)系矩陣= R的關(guān)系矩陣=3集合A={1,2,…,10}上的關(guān)系R={x,y|x+y=10,x,yA}，則R 的性質(zhì)為（ ）。答：循環(huán)群，任一非單位元4設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，a,b,c∈G，則(1) 若ca=b，則c=( )；(2) 若ca=ba，則c=( )。所以P為T(mén)，Q為F ，從而P→Q也為F。(2) 若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍。則前提符號(hào)化為A（BC），CA，DB，A；結(jié)論符號(hào)化為 D。對(duì)任意集合A,B，證明：若AA=BB，則B=A。因?yàn)锳A=BB，則x,xA。因?yàn)锳，所以C=。同理可證，CB。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。(3) （A）C={b,d}。即AC。因?yàn)锳B, 且BC，所以AC。故xRSx。故aRSc。1設(shè)A是集合，RAA，則R是對(duì)稱(chēng)的R＝R－1。x，yA，若x,yR ，即y,xR1。故R(ST)=（RS）（RT）。即B如果有最大元?jiǎng)t它是惟一的。1設(shè)A={1,2,…,10}。1A上的偏序關(guān)系的Hasse圖如下。無(wú)最大元和最小元； 上界是e，下界是c。（半群與群部分）1求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。是群，aG。a=ad)=(cdH。從而H 是G的子群。且當(dāng)a 階大于2時(shí)，a1。a5。則a4(aa=(ab)(a2由消去律得，a=e。故e=2是I關(guān)于運(yùn)算*的單位元。是S,封閉。即單位元有惟一逆元。3證明在元素不少于兩個(gè)的群中不存在零元。證明：設(shè)e1,e2都是群〈G,*〉的單位元。證明：群中的每一個(gè)元素的階均不為0 且單位元是其中惟一的階為1的元素。若a是G,*的等冪元，即a*a=a。故ax1=ax2。證明：a,bS，（a(ab)=a2a)(ba)滿足交換律。證明：（1）aA,記b=a*a。4設(shè)G,a))1=((b從而f是G到G上的自同構(gòu)。從而f是G 的自同構(gòu)。4設(shè)H和K都 是G的不變子群。ha1K。證明C（G）是G的不變子群。b）a) 故C（G）是G 的子群。a1=（h試證：G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。記H={e,ak,(ak)2,…,(ak)m1}，易證H是G 的子群，但1|H|=mn，故H是G 的非平凡子群。若HK{e}。b HK,a1 HK。因?yàn)閜是素?cái)?shù)，故k=p。證明：記p=,q=,｜ak｜＝m。50、設(shè)G,是有限群，|G|＝n，則a∈G，|a|n。若km1，則由消去律可知c的階是有限的，這與|G|無(wú)限矛盾。由于0rm，且am是H中a 的最小正冪，故r=0,即k=mq。因?yàn)閨a|=n,所以bd=(ak)d=akd=an=e且|b|=d。設(shè)H是G的惟一的d階子群。(3) c,d∈h(H),a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。設(shè)|h(a)|=m,則h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。令H={e,a,a2,…,am1}。因?yàn)閍,b,c的階均為2，故a1=a,b1=b,c1=c。故a1的階也是k。從而a*bA。由此可見(jiàn)，G中的2n個(gè)非單位元構(gòu)成互為逆元的n對(duì)元素。當(dāng)a0時(shí)，設(shè)(a,b)關(guān)于*的逆元為(c,d)。令h=k=e,則a=e*a*a=h*e*k,從而aRa。因?yàn)镠、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。(2)(3) a∈G，對(duì)h∈H,令h1=a1ha，則（h1）1= ah1a1。即aHHa。證明：任意取定aG，記方程a*x=a的惟一解為eR。下證eL為關(guān)于運(yùn)算*的左單位元。記d=