【正文】 在a*b=c*b*a兩邊同時右乘b，再由a*b=c*b*a得a*b=(c*b*a)*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=(c*b)*(a*b)*b=(c*b)*(c*b*a)*b=(c*b)*a*b=…=(c*b)*a, 再由b*c=c*b及b 的階為n得 a=a*b= (c*b)*a=(c*b)*a=c*a, 所以c=e。a1K。a1)k。h1K。對aHK，有hH，kK，使得a=ha11。b2)。（b1a2))d=( a1b1）1HK。從而HKKH。6設(shè)G，*是群， H和K都是G的子群，令HK={h*s | s∈K，h∈H}, KH={s*h |s∈K,h∈H},HK,*，KH,*是G的子群的充分必要條件是HK=KH。對bG，記c為方程b*x=e的惟一解。類似地，記方程y*a=a的唯一解為eL。從而H是G的不變子群。故b=(ah) (a1a)=(aha1)a。故h1=（h2a）a1=h2H。a,b,c∈G，若aRb,bRc,則存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，則R是G上的等價關(guān)系。解得a=1,b=0。因為G的階數(shù)為奇數(shù)2n+1，所以由拉格朗日定理知G中不存在2 階元素，即除了單位元e以外，G的所有元素的階都大于2。因為aA,所以aA。從而a1的階是有限的，且|a1|k。若G沒有4階元素，則除單位元e外，G的其余3個階均為2。5有限群G的每個元素的階均能整除G的階。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。證明：(1) 因為h(e1)h(e1)=h(e1e1)= h(e1)= e2h(e1),所以h(e1)=e2。因為|H|=d，所以m==k，即H=H1。因此n階循環(huán)群的子群的個數(shù)恰為 n的正因子數(shù)。則ar=akmq=akamq=b(am)q。若c是G的生成元，則k,mI，分別滿足c=ak和a=cm。由于p和m都是正整數(shù)，所以p=m。 故T,是S,的子獨異點。設(shè)a的階為k,則k1。b,a1 K。試證：HK={e}。從而G一定是循環(huán)群，且a是G 的生成元。4設(shè)G,因為hC(G)，所以b=(a從而ax)b。x=xa1H且aH從而aH=Ha=GH。f(b)。又對aG，有f(a1)=(a1)1=a。a1)1=(f(b) 由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c，故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c，即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。試證明：（1）aA,a*a=a，即a是等冪元；（2） a,bA,a*b*a=a。a。(bb)=a(aa)a)b）2=a2若x1,x2都滿足要求。3代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個群，則G除單位元以外無其它等冪元。從而a1也是〈G，*〉的生成元。故在元素不少于兩個的群中不存在零元。從而假設(shè)錯誤。若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。因為k+lI+，所以b令Sa={ai | iI+ }。（2）記e=2。a5= ba2)a))b)b)b=b是群，a,bG，ae，且a4證明：設(shè)G,a。d)。a)=ca=a又因為1和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。因為循環(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。最大元是e，無最小元；上界是e，下界是c。無上確界，下確界是c。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。MR=。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。從而R(ST)（RS）（RT）。即y,xR， R_1R。xA，IAR，x,xR。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。若R和S都是非空集A上的等價關(guān)系，則RS是A上的等價關(guān)系。雖然AB，且BC，但AC。對xA, 因為AB，所以xB。 解 ：(1) AB={a}。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。從而xC。證明：若B=，則AB=。從而AA。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。C: C隊獲亞軍。從而P也為F，即P為T。(1) 2階　　(2) 3 階 (3) 4 階 　(4) 6 階答：(3)（數(shù)理邏輯部分）二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式： (P→Q)R　 解：(P→Q)R(PQ )R(PR)(QR) （析取范式）(P()R)((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)( PQR)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）(PR)(QR)P 解： (PR)(QR)P（析取范式）(P()R)((PP)QR)(P()(RR))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (主析取范式)（(PR)(QR)P）(PQR)(PQR）（原公式否定的主析取范式）(PR)(QR)P (PQR)(PQR)（主合取范式）(P→Q)(RP)解：(P→Q)(RP)　(PQ)(RP)（合取范式）(PQ(RR))(P())R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式） ((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（原公式否定的主合取范式）(P→Q)(RP)　(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）Q→(PR) 解：Q→(PR)QPR（主合取范式）（Q→(PR)）(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（原公式否定的主合取范式）Q→(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR）（主析取范式）P→(P(Q→P)) 解：P→(P(Q→P))P(P(QP))PP T (主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）(P→Q)(RP)解： (P→Q)(RP)(PQ)(RP)(PQ)(RP)（析取范式）(PQ(RR))(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）P(P→Q) 　　　　解：P(P→Q)P(PQ)(PP)QT(主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）(R→Q)P解：(R→Q)P(RQ )P (RP)(QP) （析取范式） (R()P)((RR)QP)(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((R→Q)P)(PQR)(PQR）(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式）(R→Q)P(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）P→Q 解：P→QPQ（主合取范式）(P())((PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）　PQ　 解： PQ （主合取范式）(P())((PP)Q）(PQ)(PQ)(PQ)(PQ）(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式）1PQ解：PQ（主析取范式）(P())((PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主合取范式）1（PR）Q解：（PR）Q(PR)Q(PR)Q(PQ)(RQ)（合取范式）(PQ(RR))((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）（PR）Q (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) （原公式否定的主析取范式）（PR）Q(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）1（PQ）R解：（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PQ(RR))((PP)()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式）（PQ）R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式)(P()R)((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)1(P(QR))(P(QR))解：(P(QR))(P(QR))(P(QR))(P(QR))(PQ)(PR)(PQ)(PR)（合取范式）(PQ(RR))(P()R)(PQ(RR))(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(P(QR))(P(QR))(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR))(P(QR))(PQR)(PQR)(主析取范式)1P(P(Q(QR)))解：P(P(Q(QR))) P(P(Q(QR))) PQR(主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)1(PQ)(PR)解、(PQ)(PR)(PQ)(PR) (合取范式)(PQ(RR)(P()R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PQ)(PR)(PQ)(PR)P(QR)(合取范式)(P()(RR))((PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)三、證明：P→Q，QR，R，SP=S證明：(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q （1），（2）(4) P→Q 前提(5) P （3），（4）(6) SP 前提(7) S （5），（6）A→(B→C)，C→(DE)，F(xiàn)→(DE),A=B→F證明： (1) A 前提(2) A→(B→C) 前提 (3) B→C （1），（2）(4) B 附加前提(5) C （3）