【正文】 c*b。cHK，則c1HK，故存在aH,bK ,使得c1=aa。故HK=KH。(a2因?yàn)閎1b2=(a1a3H, b3從而c1KH。因?yàn)閍=h從而HKKH。bkb 由a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b得a*b=b*a*c，兩邊同時左乘a，再由a*b=b*a*c得a*b=a*(b*a*c)= a* (a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c) = a*b*(a*c)= a*(a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c)= a*b*(a*c)=…=b*(a*c), 再由a*c=c*a及a 的階為m得 b= a*b= b*(a*c)=b* a * c=b*c, 所以c=e。若a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b，且a,b的階分別為m,n，則c的階整除m與n的最大公因子(m,n)。a1H且aa1=(a下證HK是G的不變子群。h，且K是G 的不變子群，所以h證明：HK也是G 的不變子群。又c1=(a1a3)從而cb2=( a1b2。b1HK。a1。從而c為b關(guān)于運(yùn)算的逆元。 從而在半群G,*中, 關(guān)于運(yùn)算*存在單位元，記為e。G,*是半群，運(yùn)算*滿足結(jié)合律。即HaaH。(3)(4) 類似于（2）(3)的證明。6設(shè)H是G的子群，則下列條件等價： （1） H是G的不變子群；（2） a∈G，aHa1H；（3） a∈G，a1HaH；（4） a∈G，h∈G，aha1H。故a=h1*a*k1,從而bRa。6設(shè)G,*是一個群，H、K是其子群。根據(jù)*和單位元的定義，對(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。5設(shè)e是奇數(shù)階交換群G,*的單位元，則G的所有元素之積為e。若AG且BG，則有aA,aB且bB,bA。證明：因?yàn)閨 a |=k，所以ak=e。證明：在4階群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的階只能是1，2或4。若a的階是無限的，則類似于上述證明過程可以得出，h(a)的階也是無限的。(H)G2。故d是n的一個正因子。設(shè)H1是G的任一d階子群。因?yàn)镚是無限群，所以a的階是無限的，從而am的階也是無限的，故H也是無限群。5設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正冪，則（1） H＝(am)；（2） 若G為無限群，則H也是無限群；證明：（1）bH, kI, 使得b=ak。5設(shè)G＝(a)，若G為無限群，則G只有兩個生成元a和a1；證明：bG＝(a)，則nI,使b=an。即p|qm。證明： ee=e，eT，即T是S的非空子集。證明：設(shè)G,*是p階循環(huán)群，p是素數(shù)。因?yàn)镠和K都 是G的子群，故 a綜上所述，G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。任取aG且ae,記H=（a）(由a生成的G的子群)。a1)=hC(G)。a1。x=x(xa ，b故HK是G 的不變子群。因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以ah對aG，若aH，則aH=H,Ha=H。a)1=a1滿足交換律 ，即G是可交換群。對a，bG，a故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。 從而＜G,*＞是交換群。從而aa)((bb2，所以(ab)b)=((a中消去律成立，則S,3設(shè)G,是一個群，則對于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。從而階為1的元素與階大于2 的元素個數(shù)之和是奇數(shù)。證明：xG，因?yàn)閍是〈G，*〉的生成元，所以存在整數(shù)k，使得x=a。 a=e。對A的任一元素a，因?yàn)閑和0是A上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元和零元，則a=a*e=a*0=0。單位元有惟一逆元。c=ak2設(shè)S,證明：（1）a,b,cI，(a*b)*c=(a*b)+c2=(a+b2)+c2=a+b+c4, a*(b*c)=a+(b*c)2=a+(b+c2)2=a+b+c4。b= ba)a)=(aa））(b證明：用反證法證明。則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。故偶數(shù)階群中階為2 的元素一定是奇數(shù)個。滿足消去律，所以a d=aa=c試證：H 是G 的子群。因?yàn)閍n=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。則G={e,a,a2,..,a7}。上確界是e，下確界是b。 (d) {b,d,e} a e f b d c解：(1) ba,ce,df,cf成立；(2) (a)的極大元為a,e,f,極小元為c。（3）是A的劃分。MR=。從而R(ST)(RS）（RT）。從而x，yR且y，zS或x，yR且y，zT，即x，zRS或x，zRT。反之y,xR1,即x,yR 。證明：xA，R是自反的，xRx。故bRSa。若最小元為a，則a≤b；否則b≤a。(3) 不成立。設(shè)A,B,C是任意集合，證明或否定下列斷言：（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC。 （5）(AB)(BC)。 (4) P(A)A。對,因?yàn)锳，所以存在yA, 使y,xB。故B=A。從而B=A。（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={x,y|2x+y4且x且yB}。證明、設(shè)A：A隊得第一。即P→Q和QR都為T。答：k4在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ ） (1) a*b=ab　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|ab|答：(2)50、任意一個具有2個或以上元的半群，它（ ）。答： 6,44代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個群，則G的等冪元是(　　　　)。(　　　　)答：A上的恒等關(guān)系集合A上的等價關(guān)系的三個性質(zhì)是什么？( )答：自反性、對稱性和傳遞性3集合A上的偏序關(guān)系的三個性質(zhì)是什么？( )答：自反性、反對稱性和傳遞性3設(shè)S={１,２,３,４}，Ａ上的關(guān)系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)RR (2) R1 。(1)　只有在生病時，我才不去學(xué)校 (2) 若我生病，則我不去學(xué)校(3)　當(dāng)且僅當(dāng)我生病時，我才不去學(xué)校(4) 若我不生病，則我一定去學(xué)校答：（1） （2） （3） （4）設(shè)個體域?yàn)檎麛?shù)集，則下列公式的意義是( )。D(x)中，自由變元是( )，約束變元是( )。答：x,y, x,z判斷下列語句是不是命題。(1) x$y(x+y=0) (2) $yx(x+y=0)答：（1）對任一整數(shù)x存在整數(shù) y滿足x+y=0（2）存在整數(shù)y對任一整數(shù)x滿足x+y=0設(shè)全體域D是正整數(shù)集合，確定下列命題的真值：(1) x$y (xy=y)　　(　　)　　(2) $xy(x+y=y)　　(　　)(3) $xy(x+y=x) 　(　　)　　(4) x$y(y=2x)　　 (　　)答：（1） F （2） F （3）F （4）T1命題“2是偶數(shù)或3是負(fù)數(shù)”的否定是（ ）。答：RR ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3設(shè)Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除關(guān)系，求R= {(　　　　　)}。答：單位元4設(shè)a是10階群的生成元， 則a4是( )階元素，a3是( )階元素。(1) 不可能是群　　(2) 不一定是群　(3) 一定是群 　(4) 是交換群答：(1)56階有限群的任何子群一定不是（ ）。故P→Q，Q和R)都為T，即P→Q為T，Q和R都為F。B: B隊獲亞軍。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。 若B，則BB。對任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。因?yàn)锳B=AC，則y,xC。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。 （6）(AB)C。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。從而≤為A上的的全序關(guān)系。從而RS是對稱的。即x,xR，故IAR。R是對稱的，yRx。故x，z（RS）（RT） 。1設(shè)〈A,≤〉為偏序集，BA，若B有最大(小)元、上(下)確界，則它們是惟一的。它是反自反的、對稱的；（3）R={1,2,2,1,1,3,3,3}。其誘導(dǎo)的等價關(guān)系是I{1,2,2,1,1,7,7,1,2,7,7,2,3,5,5,3,3,10,10,3,10,5,5,10,4,6,6,4,4,8,8,4,6,8,8,6}。無最大元，c是最小元；無上界，下界是c。(d)的極大元為e,極小元為b,d。由于ak是G的生成元的充分必要條件是k與8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。從而對任一個kI,k=2(2k)=12k，故1是的生成元。證明： c，dH，則對c，dHK，c(d(cc1=c12證明：有限群中階大于2的元素的個數(shù)一定是偶數(shù)。2設(shè)G, 假設(shè)aa)=(a5a=((a2(ba2=(ba5，所以b故(a*b)*c= a*(b*c)，從而*滿足結(jié)合律。為半群，aS。al=ak+l。證明：設(shè)G,是一個群，e是關(guān)于運(yùn)算的單位元。即A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|1矛盾。即G中只有一個元素，這與|G|2矛盾。故x=((a))=((a))=(a)。因?yàn)樵撊旱碾A是偶數(shù)，從而它一定有階為2 的元素。證明：因?yàn)閍1*b∈G，且a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b，所以對于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。是可交換半群當(dāng)且僅當(dāng)a,bS，（ab)b=(ab)a)b=ab=b設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且a,bA,若a*b=b*a，則a=b。（3） a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。b=(b1因?yàn)楫?dāng)ab時，a1b1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一個單一函數(shù)。b1=f(a)否則因?yàn)閍GH，故aHH,HaH。a1ah4設(shè)群G的中心為C（G）={aG|xG,ax=xb)=(aa1。下證bC(G)。故C（G）是G的不變子群。顯然H{e}，且G沒有非平凡子群，故H=G。4設(shè)H和K都是G 的有限子群，且|H|與|K|互質(zhì)。b,a1 H且a對G中任一非單位元a。 a,bT, S，是可交換獨(dú)異點(diǎn),(ab)(ab)=((ab)a)b=(a(ba))b=（a(ab)）b=((aa)b)b=(aa)(bb)=ab,即abT。但p和q 互質(zhì)，故p|m。故b=(an)1=(a1)n,從而a1也是G的生成元。令k=mq+r, 0rm。5設(shè)G＝(a)，|G|＝n，則對于n 的每一正因子d，有且僅有一個d階子群。H1＝(am)，其中am是H1中a 的最小正冪，且|H|=。5設(shè)h是從群G1,到G2,的群同態(tài)，G和G2的單位元分別為e1和e2，則（1） h(e1)=e2；（2） aG1，h(a1)=h(a)1；（3） 若HG1，則h(H)G2；