【正文】 故HK是G 的不變子群。(hk從而ca2 =a3對(duì)c，dHK，有a1,a2H,b1,b2K ,使得c=a1因?yàn)閏=（aG,*是半群，運(yùn)算*滿(mǎn)足結(jié)合律。故b=(aa1) (ha)=a(a1ha)=a(a1h(a1)1)。即R是傳遞的。解得c=,d=。綜合可得a*bAB=G，這與已知矛盾。同理可得ac=ca=b, cb=bc=a, ba=c。即|a|m。否則H＝(am)，其中am是H中a 的最小正冪。故am是H的生成元。 由消去律得 amk=e。故a是G的生成元。先證HK也是G的子群，從而也是H和K的子群。否則設(shè)G,對(duì)aG，hC(G)，記b=a(bh證明：因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以HK是G 的子群。b)=(a證明：f是G的自同構(gòu)G是交換群。證明：對(duì)任一aG，由已知可得a*a=e，即a1=a。由于 a,bS，因?yàn)椋╝b)由于運(yùn)算*滿(mǎn)足消去律，所以a=e。 所以單位元是惟一的。證明：用反證法證明。證明：b，cSa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。a2 =((ba=（a2bb證明：設(shè)G,d=(ax=x求下列置換的運(yùn)算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。 (b) {b,d}。MR=。即yRx，故R是對(duì)稱(chēng)的。故RS是A上的等價(jià)關(guān)系。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個(gè)非空子集。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。設(shè)A={a,b}, B={c}。故BA。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時(shí)為真。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個(gè)公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價(jià)。答：2，63設(shè)A={3,6,9}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=min{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群與群部分）3設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，則(1) 若a,b,x∈G，ax=b，則x=( )；(2) 若a,b,x∈G，ax=ab，則x=( )?！?5) 前進(jìn)！ (6) 給我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F(xiàn) （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是命題“存在一些人是大學(xué)生”的否定是( )，而命題“所有的人都是要死的”的否定是( )。( )(1) 北京是中華人民共和國(guó)的首都。答：（1）R={1,1,4,2,6,3} (2) R={1,1,2,4,(3，6}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R1的關(guān)系矩陣。1P→QP→(PQ)證明、設(shè)P→(PQ)為F，則P為T(mén)，PQ為F。D: D隊(duì)獲亞軍。對(duì), x,xBB。故BC。 (2) ={a,b,c,d,e}。(4) 成立。因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以aRc且aSc。故R=R1。是A上的偏序關(guān)系，a=b。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。上確界是e，下確界是c。2設(shè)G,(a故c1H。b=ba=(a2a2=((aa4。試證Sa,因?yàn)閑是關(guān)于運(yùn)算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。3證明在一個(gè)群中單位元是惟一的。證明：設(shè)e是該群的單位元。b2。(b(a故從而由已知條件知，a*b*c=a*c。故f是G到G上的滿(mǎn)函數(shù)。故H是G的不變子群。h故（ab，a1C（G）。是沒(méi)有非平凡子群的有限群。證明：用反證法證明。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。即｜ak｜＝。因?yàn)閎,amH, 且HG，所以arH。從而H是G的惟一d階子群。從而h(a)的階也有限，且|h(a)|n。不妨記為a,b,c。若a*bA,則b= a*(a*b)A，這與aB矛盾。所以S關(guān)于*的單位元為(1,0)。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。由于aha1∈H，所以b∈Ha。即eL*a=a。證明：HK是G的子群。從而KHHK。b2。因?yàn)镠和K都是G的子群，故a1k。故a從而a證明：設(shè)c的階為k。hkb1)1=b11d=( a1則c因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即cKH。 現(xiàn)證G中每個(gè)元素關(guān)于運(yùn)算*存在逆元。即Ha=aH。證明：(1)(2) a∈G，則對(duì)h∈H,令h1=aha1，因?yàn)閍h aH且Ha=aH，所以h2∈H，使得ah=h2a。定義G上的關(guān)系R：對(duì)任意a,b∈G，aRb 243。證明：設(shè)G={e,a,a,…,a},*，n為正整數(shù)。即（a1）k=(ak)1=e。故結(jié)論成立。5設(shè)h是從群G1,到G2,的群同態(tài)，G和G2的單位元分別為e1和e2，則（1） h(e1)=e2；（2） aG1，h(a1)=h(a)1；（3） 若HG1，則h(H)G2；（4） 若h為單一同態(tài)，則aG1，|h(a)|=|a|。5設(shè)G＝(a)，|G|＝n，則對(duì)于n 的每一正因子d，有且僅有一個(gè)d階子群。故b=(an)1=(a1)n,從而a1也是G的生成元。 a,bT, S，是可交換獨(dú)異點(diǎn),(ab)(ab)=((ab)a)b=(a(ba))b=（a(ab)）b=((aa)b)b=(aa)(bb)=ab,即abT。b,a1 H且a顯然H{e}，且G沒(méi)有非平凡子群，故H=G。下證bC(G)。b)=(a4設(shè)群G的中心為C（G）={aG|xG,aa1ab1=f(a)b=(b1設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且a,bA,若a*b=b*a，則a=b。b=ab)b)證明：因?yàn)閍1*b∈G，且a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b，所以對(duì)于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。故x=((a))=((a))=(a)。即A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|1矛盾。al=ak+l。故(a*b)*c= a*(b*c)，從而*滿(mǎn)足結(jié)合律。a2=(ba=((a2 假設(shè)a2證明：有限群中階大于2的元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。(c證明： c，dH，則對(duì)c，dHK，c由于ak是G的生成元的充分必要條件是k與8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。無(wú)最大元，c是最小元；無(wú)上界，下界是c。它是反自反的、對(duì)稱(chēng)的；（3）R={1,2,2,1,1,3,3,3}。故x，z（RS）（RT） 。即x,xR，故IAR。從而≤為A上的的全序關(guān)系。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。對(duì)任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。故P→Q，Q和R)都為T(mén)，即P→Q為T(mén)，Q和R都為F。答：?jiǎn)挝辉?設(shè)a是10階群的生成元， 則a4是( )階元素，a3是( )階元素。(1) x$y(x+y=0) (2) $yx(x+y=0)答：（1）對(duì)任一整數(shù)x存在整數(shù) y滿(mǎn)足x+y=0（2）存在整數(shù)y對(duì)任一整數(shù)x滿(mǎn)足x+y=0設(shè)全體域D是正整數(shù)集合，確定下列命題的真值：(1) x$y (xy=y)　　(　　)　　(2) $xy(x+y=y)　　(　　)(3) $xy(x+y=x) 　(　　)　　(4) x$y(y=2x)　　 (　　)答：（1） F （2） F （3）F （4）T1命題“2是偶數(shù)或3是負(fù)數(shù)”的否定是（ ）。D(x)中，自由變?cè)? )，約束變?cè)? )。(　　　　)答：A上的恒等關(guān)系集合A上的等價(jià)關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么？( )答：自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性3集合A上的偏序關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)是什么？( )答：自反性、反對(duì)稱(chēng)性和傳遞性3設(shè)S={１,２,３,４}，Ａ上的關(guān)系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)RR (2) R1 。答：k4在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ ） (1) a*b=ab　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|ab|答：(2)50、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（ ）。證明、設(shè)A：A隊(duì)得第一。從而B(niǎo)=A。對(duì),因?yàn)锳，所以存在yA, 使y,xB。 （5）(AB)(BC)。(3) 不成立。故bRSa。反之y,xR1,即x,yR 。從而R(ST)(RS）（RT）。（3）是A的劃分。上確界是e，下確界是b。因?yàn)閍n=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。a=c滿(mǎn)足消去律，所以a 則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。(ba)=(ab= b2設(shè)S,單位元有惟一逆元。 a=e。從而階為1的元素與階大于2 的元素個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)。中消去律成立，則S,b)((b從而a故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，從而a*b*a=a。滿(mǎn)足交換律 ，即G是可交換群。對(duì)aG，若aH，則aH=H,Ha=H。因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以aa ，bx=xa1)=hC(G)。綜上所述，G是平凡群或質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。證明：設(shè)G,*是p階循環(huán)群，p是素?cái)?shù)。即p|qm。5設(shè)G＝(a)，{e}HG，am是H中a 的最小正冪，則（1） H＝(am)；（2） 若G為無(wú)限群，則H也是無(wú)限群；證明：（1）bH, kI, 使得b=ak。設(shè)H1是G的任一d階子群。(H)G2。證明：在4階群 G中，由Lagrange定理知，G中的元素的階只能是1，2或4。若AG且BG，則有aA,aB且bB,bA。根據(jù)*和單位元的定義，對(duì)(x,y)S,有(a,b)*(x,y)=(ax,ay+b)=(x,y), (x,y)*(a,b)=(ax,xb+y)=(x,y)。故a=h1*a*k1,從而bRa。(3)(4) 類(lèi)似于（2）(3)的證明。G,*是半群，運(yùn)算*滿(mǎn)足結(jié)合律。從而c為b關(guān)于運(yùn)算的逆元。b1HK。b2=( a1a3)證明：HK也是G 的不變子群。下證HK是G的不變子群。a1H且a 由a*b=c*b*a,a*c=c*a,b*c=c*b得a*b=b*a*c，兩邊同時(shí)左乘a，再由a*b=b*a*c得a*b=a*(b*a*c)= a* (a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c) = a*b*(a*c)= a*(a*b)*(a*c)= a*(b*a*c)*(a*c)= a*b*(a*c)=…=b*(a*c), 再由a*c=c*a及a 的階為m得