【正文】 （4） 若h為單一同態(tài)，則aG1，|h(a)|=|a|。(4) 若|a|=n,則an=e1。故結(jié)論成立。階為1 的元素恰有一個(gè)，就是單位元e.若G有一個(gè)4階元素，不妨設(shè)為a，則G=（a）,即G是循環(huán)群 ，從而是可交換群。即（a1）k=(ak)1=e。因?yàn)锳，B都是G的子群，故a,bG，從而a*bG。證明：設(shè)G={e,a,a,…,a},*，n為正整數(shù)。即ax=x,ay+b=y,xb+y=y對(duì)x,yQ都成立。定義G上的關(guān)系R：對(duì)任意a,b∈G，aRb 243。即R是對(duì)稱的。證明：(1)(2) a∈G，則對(duì)h∈H,令h1=aha1，因?yàn)閍h aH且Ha=aH，所以h2∈H，使得ah=h2a。(4)(1) a∈G，對(duì)b∈aH，則h∈H，使得b=ah。即Ha=aH。b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。 現(xiàn)證G中每個(gè)元素關(guān)于運(yùn)算*存在逆元。 綜上所述，G,*是一個(gè)群。因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即cKH。因?yàn)镠K是G的子群，所以c=（a1則c(b1d=( a1(b3b1)1=b11證明：先證HK是G 的子群。k 對(duì)aG，bHK，有hH，kK，使得b=hhk證明：設(shè)c的階為k。故由元素階的定義有k|n。從而a(a故a故aKH。k。因?yàn)镠和K都是G的子群，故a11H, b11K。因?yàn)镠和K都是G的子群，故a1a2）b2。b1)從而KHHK。 cKH，則存在aH,bK ,使得c=b證明：HK是G的子群。下證c為b關(guān)于運(yùn)算的逆元。即eL*a=a。6在半群G,*中，若對(duì)a,bG，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，則G,*是一個(gè)群。由于aha1∈H，所以b∈Ha。故 aHa1H。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。證明：a∈G，因?yàn)镠、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。所以S關(guān)于*的單位元為(1,0)。故對(duì)G中的任一非單位元a，它的逆元a不是它本身，且G中不同的元素有不同的逆元。若a*bA,則b= a*(a*b)A，這與aB矛盾。同理可證，a的階小于等于|a1|。不妨記為a,b,c。證明：設(shè)|G|=n，aG，則|a|=m。從而h(a)的階也有限，且|h(a)|n。(2) a∈G1，h(a)h(a1)=h(aa1)= h(e1)= e2,h(a1)h(a)=h(a1a)= h(e1)= e2,故h(a1)=h(a)1。從而H是G的惟一d階子群。證明：對(duì)n 的每一正因子d，令k=,b=ak, H={e,b,b2,…,bd1}。因?yàn)閎,amH, 且HG，所以arH。從而c= (cm)k= cmk。即｜ak｜＝。4設(shè)G,是群，且a∈G的階為n，k∈I，則|ak|＝，其中(k,n)為k和n的最大公因子。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。從而a證明：用反證法證明。若n是合數(shù)，則存在大于1 的整數(shù)k,m，使得n=mk。是沒有非平凡子群的有限群。h) b，a1C（G）。b=(x故（aa}。ha1，故H是G的不變子群。故f滿足同態(tài)方程。故f是G到G上的滿函數(shù)。f(a))1=(f(b從而由已知條件知，a*b*c=a*c。（3） a,b,cA,a*b*c=a*c。故b)，即(b(ab)=(a(bb=(ab2。即ax1=b且ax2=b。證明：設(shè)e是該群的單位元。3在一個(gè)偶數(shù)階群中一定存在一個(gè)2階元素。3證明在一個(gè)群中單位元是惟一的。即e0。因?yàn)閑是關(guān)于運(yùn)算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。cSa，即Sa關(guān)于運(yùn)算試證Sa,對(duì)aI，a*2=a+22=a=2+a2=2*a.。a4。a2=ba2=((aa)a=(a2a。b=b是有限群，則aG，有|a|=|a1|。故c1H。從而c(ac,d2設(shè)G,因?yàn)閨e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是該子群中a的最小正冪，故G的所有子群除兩個(gè)平凡子群外，還有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。上確界是e，下確界是c。(b)的極大元為b,d,極小元為b,d。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。它既不是自反的、反自反的、也不是對(duì)稱的、反對(duì)稱的、傳遞的。是A上的偏序關(guān)系，a=b。同理可證（RS）（RT）R(ST)。故R=R1。即xRx，故R是自反的。因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以aRc且aSc?！∽C明：a∈A，因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以xRx且xSx。(4) 成立。又因?yàn)锽C，所以xC。 (2) ={a,b,c,d,e}。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。故BC。從而AC =。對(duì), x,xBB。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。D: D隊(duì)獲亞軍。從而(P→Q)(QR) P2為慶祝九七香港回歸祖國(guó)，四支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知情況如下，問結(jié)論是否有效?前提: (1) 若A隊(duì)得第一，則B隊(duì)或C隊(duì)獲亞軍。1P→QP→(PQ)證明、設(shè)P→(PQ)為F，則P為T，PQ為F。答：?jiǎn)挝辉?4素?cái)?shù)階群一定是( )群, 它的生成元是( )。答：（1）R={1,1,4,2,6,3} (2) R={1,1,2,4,(3，6}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R1的關(guān)系矩陣。1永真式的否定是（ ）(1) 永真式　(2) 永假式　(3) 可滿足式　(4) (1)(3)均有可能答：（2）1公式(PQ)(PQ)化簡(jiǎn)為（ ），公式 Q(P(PQ))可化簡(jiǎn)為（ ）。( )(1) 北京是中華人民共和國(guó)的首都。B(y，x))217?！?5) 前進(jìn)！ (6) 給我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F(xiàn) （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是命題“存在一些人是大學(xué)生”的否定是( )，而命題“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：x(R(x)Q(x))（二元關(guān)系部分）2設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R1 。答：2，63設(shè)A={3,6,9}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=min{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )；答：9，3（半群與群部分）3設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，則(1) 若a,b,x∈G，ax=b，則x=( )；(2) 若a,b,x∈G，ax=ab，則x=( )。答：H,是群 或 a，b G， abH，a1H 或 a,b G，ab1H 4群＜A,*＞的等冪元有(　　　)個(gè)，是(　　　)，零元有(　　　)個(gè)。1用先求主范式的方法證明(P→Q)(P→R) (P→（QR）證明、先求出左右兩個(gè)公式 的主合取范式(P→Q)(P→R) (PQ)(PR) (PQ(RR)))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (P→（QR）) (P（QR）) (PQ)(PR)(PQ(RR))(P()R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)它們有一樣的主合取范式，所以它們等價(jià)。(4) A 隊(duì)獲第一。（1） A 前提 （2） A（BC）前提 （3） BC （1），（2） （4） CA 前提 （5） C （1），（4） （6） B （3），（5） （7） DB 前提 （8） D （6），（7）2用推理規(guī)則證明PQ, (QR),PR不能同時(shí)為真。從而AA =。故BA。 若B，則AB。設(shè)A={a,b}, B={c}。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個(gè)非空子集。a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。故RS是A上的等價(jià)關(guān)系。即y,xR，故x,yR_1 。即yRx，故R是對(duì)稱的。從而x，yR且y，zS且y，zT，即x，zRS且x，zRT。MR=。（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}。 (b) {b,d}。(c)的極大元為e,極小元為b。求下列置換的運(yùn)算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。因?yàn)镮,*是無(wú)限階的循環(huán)群，則它只有兩個(gè)生成元。x=x故(cd=(aa=a證明：設(shè)G,2試求N6,+6中每個(gè)元素的階。bb（aa=（a2b))a2 =((ba4。2I上的二元運(yùn)算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。故4a是a關(guān)于運(yùn)算*的逆元。證明：b，cSa，則存在k,lI+，使得b=ak,c=al。是S,證明：用反證法證明。對(duì)aG, 由零元的定義有 a*=。 所以單位元是惟一的。且當(dāng)一個(gè)元素的階大于2 時(shí)，其逆元和它本身不相等。由于運(yùn)算*滿足消去律，所以a=e。從而對(duì)于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得ax=b。b)b=((a a,bS，因?yàn)椋╝b)。由于b)證明：對(duì)任一aG，由已知可得a*a=e，即a1=a。由已知條件可得a=a*a。證明：f是G的自同構(gòu)G是交換群。a。b)=(a證明：由已知可知，G關(guān)于H 有兩個(gè)不同的左陪集H，H1和兩個(gè)不同的右陪集H，H2。證明：因?yàn)镠和K都 是G的不變子群，所以HK是G 的子群。Kha,bC（G），對(duì)xG,有a(b(a對(duì)aG，hC(G)，記b=aa1=h否則設(shè)G,從而n是質(zhì)數(shù)。先證HK也是G的子群，從而也是H和K的子群。由拉格朗日定理可知，|HK|是|H|和|K|的因子，這與已知矛盾。故a是G的生成元。故mp且m|p。 由消去律得 amk=e。故c=a或c=a1。故am是H的生成元。故|H|=d。否則H＝(am)，其中am是H中a 的最小正冪。因?yàn)镠G，所以ab ∈H ，故cd∈h(H)。即|a|m。由Lagrange定理知|H|能整除|G|，故a的階能整除G的階。同理可得ac=ca=b, cb=bc=a, ba=c。若AB=G，則A=G或B=G。綜合可得a*bAB=G，這與已知矛盾。60、設(shè)S=，Q為有理數(shù)集合，*為S上的二元運(yùn)算：對(duì)任意(a,b)，(c,d)S,有 (a,b)*(c,d)=(ac,ad+b),求出S關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元，以及當(dāng)a0時(shí)，(a,b)關(guān)于*的逆元。解得c=,d=。a,b∈G，若aRb，則存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。即R是傳遞的。由（2）可知（h1）1∈H,從而h1H。故b=(aa1) (ha)=a(a1ha)=a(a1h(a1)1)。下證eR為關(guān)于運(yùn)算*的右單位元。G,*是半群，運(yùn)算*滿足結(jié)合律。b*e=b,且方程b*x=b有惟一解，d=e。因?yàn)閏=（ab1）1。對(duì)c，dHK，有a1,a2H,b1,b2K ,使得c=a1b1)a2 =a3b3）)從而c綜上所述，HK是G的子群。k故HK=KH。(h因?yàn)镠和K都是G的不變子群，所以a故HK是G 的不變子群。 由此可見，k是m和n的公因子，從而能整除m和