【正文】 置關(guān)系 ，必要時(shí)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線將平面分割成幾部分來(lái)處理 . 26 ? 3. 多面體的截面圖是一個(gè)平面多邊形 .畫截面圖的實(shí)質(zhì)是畫出截平面與多面體各面相交時(shí)的交線 ， 其關(guān)鍵是找到兩相交平面的某兩個(gè)公共點(diǎn) ， 若這些公共點(diǎn)在多面體內(nèi)部找不到 ， 可作延長(zhǎng)線 ， 到多面體外部去找 . ? 4. 用斜二測(cè)畫法作空間圖形的直觀圖 ， 其基本思想是通過(guò)選取直角坐標(biāo)系 ， 依據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則 ， 確定空間圖形的各頂點(diǎn)在直觀圖中的位置 . 27 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 第 講 （第二課時(shí)） 28 ? 1. 四面體 ABCD中， E、 G分別為 BC、 ? AB的中點(diǎn)， F在 CD上， H在 AD上， ? 且有 DF∶ FC= 2∶ 3， DH∶ HA= 2∶ 3. ? 求證： EF、 GH、 BD交于一點(diǎn) . 題型 4 共點(diǎn)問(wèn)題 29 ? 分析： 只要證明點(diǎn) E、 F、 G、 H分別所在的直線 EG和 HF平行 ， 由公理的推論 3就可知它們共面 .在 △ ABD和 △ CBD中 ， 由 E、G 分 別 是 BC和 AB的 中 點(diǎn) 及 可得 ， ? 所以 EG∥ HF,直線 EF，GH是梯形的兩腰 ， 所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn) ， 要證三條直線 EF、 GH、BD交于一點(diǎn) ， 只要證點(diǎn) P在直線 BD上即可 .事實(shí)上 ， 由于 BD是 EF和 GH分別所在平面BCD和平面 ABD的交線 ， 而點(diǎn) P是上述兩平面的公共點(diǎn) ， 由公理 2知 P∈ BD. 23D H D HF C H A??1225E G / / A C , H F / / A C30 ? 證法 1： (幾何法 ) ? 連結(jié) GE、 HF. ? 因?yàn)?E、 G分別為 BC、 ? AB的中點(diǎn)， ? 所以 GE∥ AC. ? 又因?yàn)?DF∶ FC=2∶ 3， DH∶ HA=2∶ 3， ? 所以 HF∥ AC,所以 GE∥ HF. ? 故 G、 E、 F、 H四點(diǎn)共面 . ? 又因?yàn)?EF與 GH不能平行， 31 ? 所以 EF與 GH相交，設(shè)交點(diǎn)為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點(diǎn) . ? 證法 2： (向量法 ) ? 由 ? 所以 ，從而 . 1122E G B G B E B A B C? ? ? ?11 ,22( B A B C ) C A? ? ?2 2 2 25 5 5 5F H D H D F D A D C ( D A D C ) C A? ? ? ? ? ? ?45EG FH?E G / / F H32 ? 故 G、 E、 F、 H四點(diǎn)共面 .又因?yàn)?EF與 ? GH不能平行，所以 EF與 GH相交， ? 設(shè)交點(diǎn)為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點(diǎn) . ? 點(diǎn)評(píng)： 證明線共點(diǎn)，常采用證兩直線的 ? 交點(diǎn)在第三條直線上的方法，而第三條 ? 直線又往往是兩平面的交線 . 33 ? 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E是AB的中點(diǎn)， F是 A1A的中點(diǎn)，求證： CE，D1F， DA三線共點(diǎn) . ? 證明： 因?yàn)?E是 AB的 ? 中點(diǎn)， F是 A1A的中點(diǎn)，連 ? 結(jié) EF∥ A1B，所以 ? EF∥ D1C且 EF= D1C， ? 故四邊形 ECD1F是梯形， ? 兩腰 CE， D1F相交，設(shè)其交點(diǎn)為 P. 1234 ? 則 P∈