【正文】 置關系 ，必要時可將問題轉化為直線將平面分割成幾部分來處理 . 26 ? 3. 多面體的截面圖是一個平面多邊形 .畫截面圖的實質是畫出截平面與多面體各面相交時的交線 ， 其關鍵是找到兩相交平面的某兩個公共點 ， 若這些公共點在多面體內部找不到 ， 可作延長線 ， 到多面體外部去找 . ? 4. 用斜二測畫法作空間圖形的直觀圖 ， 其基本思想是通過選取直角坐標系 ， 依據斜二測畫法規(guī)則 ， 確定空間圖形的各頂點在直觀圖中的位置 . 27 第九章 直線、平面、簡單幾何體 第 講 （第二課時） 28 ? 1. 四面體 ABCD中， E、 G分別為 BC、 ? AB的中點， F在 CD上， H在 AD上， ? 且有 DF∶ FC= 2∶ 3， DH∶ HA= 2∶ 3. ? 求證： EF、 GH、 BD交于一點 . 題型 4 共點問題 29 ? 分析： 只要證明點 E、 F、 G、 H分別所在的直線 EG和 HF平行 ， 由公理的推論 3就可知它們共面 .在 △ ABD和 △ CBD中 ， 由 E、G 分 別 是 BC和 AB的 中 點 及 可得 ， ? 所以 EG∥ HF,直線 EF，GH是梯形的兩腰 ， 所以它們的延長線必相交于一點 ， 要證三條直線 EF、 GH、BD交于一點 ， 只要證點 P在直線 BD上即可 .事實上 ， 由于 BD是 EF和 GH分別所在平面BCD和平面 ABD的交線 ， 而點 P是上述兩平面的公共點 ， 由公理 2知 P∈ BD. 23D H D HF C H A??1225E G / / A C , H F / / A C30 ? 證法 1： (幾何法 ) ? 連結 GE、 HF. ? 因為 E、 G分別為 BC、 ? AB的中點， ? 所以 GE∥ AC. ? 又因為 DF∶ FC=2∶ 3， DH∶ HA=2∶ 3， ? 所以 HF∥ AC,所以 GE∥ HF. ? 故 G、 E、 F、 H四點共面 . ? 又因為 EF與 GH不能平行， 31 ? 所以 EF與 GH相交，設交點為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點 . ? 證法 2： (向量法 ) ? 由 ? 所以 ，從而 . 1122E G B G B E B A B C? ? ? ?11 ,22( B A B C ) C A? ? ?2 2 2 25 5 5 5F H D H D F D A D C ( D A D C ) C A? ? ? ? ? ? ?45EG FH?E G / / F H32 ? 故 G、 E、 F、 H四點共面 .又因為 EF與 ? GH不能平行，所以 EF與 GH相交， ? 設交點為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點 . ? 點評： 證明線共點，常采用證兩直線的 ? 交點在第三條直線上的方法，而第三條 ? 直線又往往是兩平面的交線 . 33 ? 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E是AB的中點， F是 A1A的中點，求證： CE，D1F， DA三線共點 . ? 證明： 因為 E是 AB的 ? 中點， F是 A1A的中點，連 ? 結 EF∥ A1B，所以 ? EF∥ D1C且 EF= D1C， ? 故四邊形 ECD1F是梯形， ? 兩腰 CE， D1F相交，設其交點為 P. 1234 ? 則 P∈