【正文】 。 v)′= 。1 ax a?＞10 1x a a?＜ ， lg .1axa? ?10( ) 1xxf x a? ? ?? 49 ? 當 a≤0時， f(x)是增函數； ? 當 a≥1時， f(x)是減函數； ? 當 0＜ a＜ 1時， f(x)在 (∞， )上是減函數，在 ( ， +∞)上是增函數 . ? 點評： 含參數的函數的單調性問題，在求導后判斷 f ′(x)的符號時，需要根據參數的取值情況進行分類討論 . lg 1 a a?lg 1 a a?50 ? 已知函數 f(x)=e2x2t(ex+x)+x2+2t2+1， ? 證明： ? (1)當 t＜ 時， g(x)在 R上是增函數； ? (2)對于給定的閉區(qū)間［ a， b］，總存在實數 k， ? 當 t＞ k時， g(x)在閉區(qū)間［ a， b］上是減函數 . ? 證明： (1)由題設得 g(x)=e2xt(ex+1)+x， ? 則 g′(x)=2e2xtex+1. ? 又由 2ex+ex≥ ，且 t＜ ，得 t＜ 2ex+ex， ? 即 g′(x)=2e2xtex+1＞ 0. ? 由此可知， g(x)為 R上的增函數 . ? ? 1 ()2g x f x?? ，22222251 ? (2)證法 1： 因為 g′(x)＜ 0是 g(x)為減函數的充分條件，所以只要找到實數 k，使得 t＞ k時， g′(x)= 2e2xtex+1 ＜ 0，即 t＞ 2ex+ex在閉區(qū)間［ a， b ］上成立即可 . ? 因為 y= 2ex+ex在閉區(qū)間［ a， b ］上連續(xù)，故在閉區(qū)間［ a， b ］上有最大值，設其為k，于是在 t＞ k時， g′(x)＜ 0在閉區(qū)間［ a，b ］上恒成立，即 g(x)在閉區(qū)間［ a， b ］上為減函數 . 52 ? 證法 2： 因為 g′(x)＜ 0是 g(x)為 ? 減函數的充分條件， ? 所以只要找到實數 k， ? 使得 t＞ k時， g′(x)= 2e2xtex+1 ＜ 0 ? 在閉區(qū)間［ a， b ］上成立即可 . ? 令 m=ex，則 g′(x)＜ 0(x∈ ［ a， b ］ ) ? 當且僅當 2m2tm+1＜ 0(m∈ ［ ea， eb］ ). ? 而上式成立只需 53 ? 取 2ea+ea與 2eb+eb中較大者記為 k， ? 易知當 t＞ k時， g′(x)＜ 0在閉區(qū)間 ? ［ a， b］上恒成立， ? 即 g(x)在閉區(qū)間［ a， b］上為減函數 . 2e2atea+1＜ 0 2e2bteb+1＜ 0 ，即 t＞ 2ea+ea t＞ 2eb+eb 成立 . 54 ? 3. 已知 f(x)=exax1. ? (1)若 f(x)在定義域 R內單調遞增， ? 求 a的取值范圍； ? (2)是否存在 a,使 f(x)在 (∞， 0］上單調遞減， ? 在［ 0， +∞)上單調遞增？若存在， ? 求出 a的值；若不存在，說明理由 . 題型 3 利用導數求單調函數中參數的取值范圍 55 ? 解： f ′(x)=exa. ? (1)因為 f(x)在 R內單調遞增， ? 所以 f ′(x)≥0在 R上恒成立 . ? 所以 exa≥0，即 a≤ex在 R上恒成立 . ? 所以 a≤(ex)min. ? 又因為 ex＞ 0，所以 a≤0. ? 故 a的取值范圍為 (∞,0］ . 56 ? (2)解法 1： 由題意知 exa≤0 ? 在 (∞， 0］上恒成立 , ? 所以 a≥ex在 (∞， 0］上恒成立 . ? 因為 g(x)=ex在 (∞， 0］上為增函數 , ? 所以當 x=0時， ex取得最大值 1. ? 所以 a≥1. ? 同理可知 exa≥0在［ 0， +∞)上恒成立， ? 即 a≤ex在［ 0， +∞)上恒成立， ? 所以 a≤ a=1. 57 ? 解法 2： 由題意知， x=0為 f(x)的極小值點， ? 所以 f ′(0)=0,即 e0a=0,所以 a=1. ? 點評： 由可導函數在某指定區(qū)間上是單調的，可得此函數在區(qū)間上的導函數的符號是確定的，再由此得到相應的不等式有解 (或恒成立 )，可求得參數的取值范圍 . 58 ? 設函數 試推斷是否存在正常數 k，使 f(x)在 (1， 2)上是減函數，在 (2， +∞)上是增函數？ ? 解： f ′(x)=4k2x32x22kx+2. ? 依據題意，當 x∈ (1， 2)時， ? f ′(x)＜ 0。 ? (5)(lnx)′= 。 μy′ ＝－ 4 μ－ 5 3. ? 綜上分析， a=0或 a=177。 ? (3)(sinx)′= 。如果 f ′(x)＜ 0，則 f(x)為② . ? 如果在某個區(qū)間內恒有③ ，則f(x)為常數 . ? 2. 設函數 f(x)在點 x0附近有定義，如果對 x0附近的所有的點，都有④ ，就說 f(x0)是函數 f(x)的一個極大值，記作 y極大值 =f(x0)。 ? (3)(uv)′= (v≠0). ? u=φ(x)在點 x處有導數，函數 y=f(u)在點 x的對應點 u處有導數，則復合函數 y=f［ φ(x)］在點 x處也有導數，且 f x′［ φ(x)］= . f ′(u)φ′(x) u′177。 ? (8)(ax)′= (a＞ 0， a≠1). 0 nxn1 cosx sinx ex axlna 1x 1lnxa6