【正文】 （ 1） 只有狀態(tài)穩(wěn)定 ， 輸出必然穩(wěn)定； （ 2） 穩(wěn)定性與輸入無關 。 2) 拉普拉斯變換法 ： Ate () Atte??)()( tAxtx ??對 進行拉氏變換，有： 進行拉氏反變換，有： 與 相比有： 它是 的閉合形式。 解 系統的傳遞函數為 212 21)()()(??? ??????nssTssUsYsG于是 ， 可控標準型動態(tài)方程的各矩陣為 ???????21ccc xxx ????????? ??? 2102cA ???????10cb ? ?Tc c 1?由 G(s)串聯分解并引入中間變量 z有 22z z z uy Tz z?? ?? ? ???對 y求導并考慮上述關系式 ， 則有 TuTzzTzzTy ?????? 2)21( ??? ?????令 可導出狀態(tài)變量與輸入 ， 輸出量的關系； ,1 zxc ? ,2 zxc ??)21()()21(])21([22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc???????????????????????可觀測標準型動態(tài)方程中各矩陣為 22y y y T u u? ? ?? ? ? ????????21ooo xxx ????????????210 2oA ???????Tbo1 ? ?10?oc24 狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關系為 122oox y y T u x y??? ? ? ?該系統的可控標準型與可觀測標準型的狀態(tài)變量圖 ： （ a）可控標準型實現 （ b）可觀測標準型實現 2） 只含單實極點時的情況 當 只含單實極點時，動態(tài)方程除了可化為 可控標準型或可觀測標準型以外，還可化為對角型動態(tài)方程，其 A陣是一個對角陣。 例 14 由質量塊 、 彈簧 、 阻尼器組成的雙輸入三輸出機械位移系統如圖所示 ， 具有力 F和阻尼器氣缸速度 V 兩種外作用 ， 輸出量為質量塊的位移 ， 速度和加速度 。 nn?圖中， I為 ( )單位矩陣， s是拉普拉斯算子， z為單位延時算子。 狀態(tài)空間描述 （ 內部描述 ） ：基于系統內部結構 ， 是對系統的一種完整的描述 。當狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時，稱為狀態(tài)向量。 例 1－ 1 試確定圖 85中（ a）、（ b）所示電路的獨立狀態(tài)變量。 由題意知系統有三個輸出量 ， 設 x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統微分方程可以導出系統狀態(tài)方程 ? ?FkxVxfmxxxx???????12221)(1????其向量 矩陣形式為 ??????????????????????????????????????VFmfmxxmfmkxx 1 00102121??112231 0 0 00 1 0 01yx Fyx Vk f fym m m m? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?? ????? ? ? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ? ? 由高階微分方程建動態(tài)方程 1) 微分方程不含輸入量的導數項 ： uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)( ??????? ???? ?? 選 n個狀態(tài)變量為 有 )1(21 , ???? nn yxyxyx ???????????????????????11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn??????得到動態(tài)方程 cxybuAxx????17 式中 ? ?1210 1 2 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0, , , 1 0 00 0 0 1 0nnnxxx A b cxx a a a a ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 系統的狀態(tài)變量圖 2) 微分方程輸入量中含有導數項 ： ubububuyayayay nnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ????????? ???? ???? 一般輸入導數項的次數小于或等于系統的階數 n。 這里僅限于 單輸入 多輸出和 多輸入 單輸出 系統。 0? 1? 1k??Ate例 22 已知 ， 求 。定常系統的δ 與 t0 無關，因此定常系統如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。通過變量代換，上式又可表示為： ??? dtBuxttx t )()()0()()( 0 ?? ????若取 作為初始時刻，則有 0t000() ()0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttA t t Atx t e x t e B u d t t x t t B u d? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???49 2) 拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換，有 11( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s x A X s B U sX s s I A X s I A B U s??? ? ?? ? ? ?進行拉氏反變換有 )]()[()0()()( 1111 sBUAsILxAsILtx ???? ????例 25 設系統狀態(tài)方程為 uxxxx ????????????????????????????1032102121??12( 0) [ ( 0) ( 0) ] Tx x x?( ) 1( )u t t?且 試求在 作用下狀態(tài)方程的解。解 由于系統是單輸入 ， 多輸出的 ， 故輸入矩陣只有一列 ， 輸出矩陣有兩行 。 nm? .3 由系統傳遞函數建立動態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn????????????????應用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn ????????????????? ??? 式中， 是直接聯系輸入、輸出量的前饋系數，當 G(s)的分母次數大于分子次數時， ， 是嚴格有理真分式，其分子各次項的系數分別為 nb0?nb )( )(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000??? ??????????下面介紹由 導出幾種標準型動態(tài)方程的方法： 1） 串聯分解 如圖，取 z為中間變量，將 分解為相串聯的兩部分，有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)1101)11)(??? ???????????????＋＋（（選取狀態(tài)變量 )1(21 , ???? nn zxzxzx ??)()(sDsN21 則狀態(tài)方程為 1223( 1 )0 1 10 1 1 2 1nnnnnxxxxx a z a z a z ua x a x a x u?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?輸出方程為 nn xxxy 12110 ????? ??? ?其向量 矩陣形式 cxybuAxx????式中， ?????????????????????naaaaA?????????210100001000010?????????????????1000?b? ?110 ?? nc ??? ?當 具有以上形狀時， 陣稱為友矩陣，相應的狀態(tài)方程則稱為可控標準型。 13232 xcccx?? 13223 xcccx??12 令初始條件為零，對線性定常系統的動態(tài)方程進行拉氏變換，可以得到 11( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )X s s I A B U sY s C s I A B D U s????? ? ?系統的傳遞函數矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為 DBAsICsG ??? ? 1)()(例 12 已知系統動態(tài)方程為 ????????????????????????????????????????????????????2121212121100110012010xxyyuuxxxx?? 試求系統的傳遞函數矩陣 。輸出方程的一般形式為 7) 動態(tài)方程： 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間表達式 。控制系統的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引 論 ? 經典控制理論 : 數學模型 :線性定常高階微分方程和傳遞函數 。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時變的，可以表示為 6) 輸出方程： 描述系統輸出變量與系統狀態(tài)變量和輸入變量之間函數關系的代數方程稱為輸出方程，當輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。 對圖 （ b） x1 = x2， 因此兩者相關 ， 電路只有兩個變量是獨立的 ， 即 （ x1和 x3） 或(x2和 x3)， 可以任用其中一組變量如 （ x2， x3） 作為狀態(tài)變量 。 uhxxuhxxuhxxnnn 11232121?? ??????????＃ 對＃式求導，有 ： ( ) ( ) ( 1 )0 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n nnnn n n nnnx y h u h u h ua y a y a y b u b u h u h u h u??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 由展開式將 均以 及 u 的各階導數表示，經整理可得 yyy n ,)1( ??? ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110???????????????????????????????????令上式中 u 的各階導數的系數為零 ， 可確定各 h 值 01211101110hahab