【正文】 如果 δ 與 t0 無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。 ( ) 1( )u t t? ( ) 1ut ????? Bdxttx t? ???? 0 )()0()()(解 由于 前面已求得 22222()2 2 2t t t tt t t te e e ete e e e?? ? ? ?? ? ? ?????? ??? ? ? ???22 22002201 11() 2 222ttttttteeee eeddee eeee????????? ? ????? ?????????? ???? ??? ??? ??? ? ??????? ???? ?????? －＋＝ )()()( tButAxtx ???50 222112222211( ) ( 0)2() 22( ) ( 0)2 2 2ttt t t tt t t tttx t x eee e e extx t xe e e e ee??? ? ? ?? ? ? ??????? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ???－＋22222002011() 2222t tttttteee e e edde e e e ee? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????－＋＝＝51 線性定常離散系統(tǒng)的分析 1)遞推法 (線性定常系統(tǒng) ) 重寫系統(tǒng)的動態(tài)方程如下： ( 1 ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x k x k G u ky k C x k D u k?? ? ???令狀態(tài)方程中的 k=0， 1， … ， k1， 可得到 T， 2T， … ， kT 時(shí)刻的狀態(tài) ， 即： k=0: k=2: k=1: k=k1: 于是，系統(tǒng)解為 : ( 1 ) ( ) ( 0) ( ) ( 0)x T x G T u? ? ?2( 2) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 1 )x T x G T u T x T G T u G T u? ? ? ? ? ? ? ?)2()()2()()3( uTGxTx ???)2()()1()()()0()()()0()( 23 uTGuTGTuTGTxT ???????1 10( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )kk k iix k T x k G T u k T x T G T u i? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( )kk k iiy k C x k D x k C T x C T G T u i D u k? ???? ? ? ? ? ? ??110110( ) ( 0 ) ( )( ) ( 0 ) ( ) ( )kk k iikk k iix k x Gu iy k C x C Gu i Du k??????????????? ? ???52 連續(xù)系統(tǒng)的離散化 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化 x A x B u?? )(0tx已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程 在 及 作用下的解為 : ??tu??? dButtxtttx tt )(),()(),()( 000 ? ????kTt ?0 )()()( 0 kxkxtx ?? ? Tkt )1( ??)1(])1[()( ???? kxTkxtx令 ，則 ；令 則 并假定在 區(qū)間內(nèi)， ，于是其解化為 ? ?1, ?? kkt ? ? ? ? 常數(shù)?? ktutu)(.],)1[()(],)1[()1( )1( kuBdTkkxkTTkkx TkkT ????????? ? ?( 1 )( ) [ ( 1 ) , ]kTkTG T k T B d???? ? ??0( ) ( )TG T B d? ? ?? ?)()()()()1( kuTGkxTkx ????)(T? )(t? ( ) ( ) |tTTt ?? ? ?若記 變量代換得到 故離散化狀態(tài)方程為 式中， 與連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 的關(guān)系為 53 非線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化及分析方法 1( ) [ ( 1 ) ( ) ]x k x k x kT? ? ?( 1 ) ( ) [ ( ) , ( ) ]x k x k T f x k u k? ? ?對于非線性時(shí)變系統(tǒng)，常采用近似的離散化處理方法。 Ate 10()nA t mmme t A???? ?在式推論 1中用 A的特征值替代 A后等式仍能滿足： 10()ikt jjijet? ????? ?利用上式和 k個(gè)就可以確定待定系數(shù) ： 1) 若 互不相等 ： 可寫出各所構(gòu)成的 n元一次方程組為 ： ()j t?i?12210 1 1 2 1 1 1210 1 2 2 2 1 2210 1 2 1kt kkt kkt kk k k keee???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??43 求解上式 ， 可求得系數(shù) ， ， … ， 它們都是時(shí)間 t的函數(shù) ， 將其代入推論 2式后即可得出 。 將 化為 嚴(yán)格有理真分式 ()Gs)(?13)2)(1(310131)2)(1(3)( sGdsssssssssG ????????????????????????????????????????????(s)G? 各元素的最小公分母 D（ s） 為 2)1 ) ( s(sD ( s ) ???故 ?????? ?????????????????? ???????????? 63 323110)2(3 32)1)( s(s 110)( 2 sssssssG 則可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程為 ： 120 1 02 3 1xx A x b u ux??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???123 1 06 3 1xy C x d u ux??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???36 由 可確定系統(tǒng)極點(diǎn)為 1， 2，它們構(gòu)成對角形狀態(tài)矩陣的元素。 約當(dāng)型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 30 .4 由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動態(tài)方程 單輸入 單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為： )()1()1()()()1()1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn??????????????????????兩端取 z變換并整理得 111 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0()()()n n nn n nnn n n nnnb z b z b z b z zYzG z bUz z a z a z a z a z a z a? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? G(z)稱為脈沖傳遞函數(shù) ， 利用 z變換關(guān)系 和 ，可以得到動態(tài)方程為： )()]([1 kxzX ii ?? ? )1()]([1 ??? ? kxzzX ii? ?1122110 1 2 10 1 1() 0( 1 ) 0 1 0 0() 0( 1 ) 0 0 1 0()( ) 0( 1 ) 0 0 0 11( 1 ) ()( ) ( ) ( )nnnn nnnxkxkxkxkukxkxkx k a a a a xky k x k b u k? ? ?????? ?? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ??? ? ? ????? ??? ? ? ?? ?? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??????簡記為 )()()()()()1(kdukcxkykhukGxkx?????31 .5 由傳遞函數(shù)矩陣建動態(tài)方程 （ 傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn) ） 給定一傳遞函數(shù)矩陣 G(s)，若有一系統(tǒng)（ A， B， C， D）能使 成立，則稱系統(tǒng)（ A， B， C， D）是 G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 bA和 A0121 ???? ?n??? ? 時(shí)， 的形式不變， bA和 ? ?000 ???c22 當(dāng) 時(shí) ， 不變 ， )()()(sDsNbsGn ??cbA , ubcxy n??當(dāng) 時(shí) ， 若按下式選取狀態(tài)變量 0?nb Toc AA ? Toc cb ? Toc bc ?式中 ， T為轉(zhuǎn)置符號 ， 則有 ?????????????????????? 1210100010001000naaaaA???????????????????????110nb????? ?100 ??c注意 的形狀特征 。 設(shè) 。 解 已知 0,10 01,10 01,20 10 ????????????????????? ?? DCBA 故 ???????????????????????????210)2(11201)(11ssssssAsI??????????????????????????????????????????? ?210)2(111001210)2(111001)( 1ssssssssBAsI 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 13 .1 由物理模型建動態(tài)方程 根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動態(tài)方程 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程的建立 RLC 電路 例 13 試列寫如圖所示 RLC的電路方程 ， 選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動態(tài)方程 ， 并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論 。 動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個(gè)變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。一般形式為 ? ?( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t t?? ?( ) ( ) , ( ) ,y t g x t u t t? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 ? ?? ?( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t ty t g x t u t t??? ?? ?1( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,k k k kk k k kx t f x t u t ty t g x t u t t? ??9) 線性系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。 2