【正文】 ? ?FkxVxfmxxxx???????12221)(1????其向量 矩陣形式為 ??????????????????????????????????????VFmfmxxmfmkxx 1 00102121??112231 0 0 00 1 0 01yx Fyx Vk f fym m m m? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?? ????? ? ? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ? ? 由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程 1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)( ??????? ???? ?? 選 n個(gè)狀態(tài)變量為 有 )1(21 , ???? nn yxyxyx ???????????????????????11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn??????得到動(dòng)態(tài)方程 cxybuAxx????17 式中 ? ?1210 1 2 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0, , , 1 0 00 0 0 1 0nnnxxx A b cxx a a a a ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： ubububuyayayay nnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ????????? ???? ???? 一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù) n。 試列寫該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。 解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流 、 電阻器電壓 、 電容器的電壓與電荷 、 電感器的電壓與磁通 。 實(shí)際上 ， 三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容 。 例 1－ 1 試確定圖 85中（ a）、（ b）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。 10 ? 討論： 狀態(tài)變量的獨(dú)立性。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為 10) 線性定常系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的 A， B， C， D或 G， H， C， D中的各元素全部是常數(shù)。 5) 狀態(tài)方程： 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項(xiàng)。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時(shí)，稱為狀態(tài)向量。 7 1) 輸入： 外部對(duì)系統(tǒng)的作用（激勵(lì)）； 控制： 人為施加的激勵(lì)； 輸入分控制與干擾。 ? 現(xiàn)代控制理論： 數(shù)學(xué)模型 :以一階微分方程組成差分方程組表示的動(dòng)態(tài)方程 分析方法 :精準(zhǔn)的時(shí)域分析法 適應(yīng)領(lǐng)域 ： （ 1） 多輸入－多輸出系統(tǒng) （ MIMO、 SISO、 MISO、 SIMO） （ 2） 非線性系統(tǒng) （ 3） 時(shí)變系統(tǒng) 優(yōu)越性： （ 1） 能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài) （ 2） 便于考慮初始條件 （ 與傳遞函數(shù)比較 ） （ 3） 適用于多變量 、 非線性 、 時(shí)變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) （ 4） 便于計(jì)算機(jī)分析與計(jì)算 （ 5） 便于性能的最優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制 內(nèi)容： 線性系統(tǒng)理論 、 最優(yōu)控制 、 最優(yōu)估計(jì) 、 系統(tǒng)辨識(shí) 、 自適應(yīng)控制 近似分析 3 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 第五章 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 第六章 線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析 4 ? 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 ? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 ? 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 ? 線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 5 典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖 執(zhí)行器 被控對(duì)象 傳感器 控制器 控制輸入 觀測(cè) y 控制 u 被控過(guò)程 x 反饋控制 被 控 過(guò) 程 puuu?21nxxx ?, 21qyyy?21 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 6 典型控制系統(tǒng) 由被控對(duì)象 、 傳感器 、 執(zhí)行器和控制器組成 。 分析方法 : 時(shí)域法 (低階 1～ 3階 ) 根軌跡法 頻域法 適應(yīng)領(lǐng)域 :單輸入－單輸出 （ SISO） 線性定常系統(tǒng) 缺 點(diǎn) :只能反映輸入－輸出間的外部特性 ， 難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài) 。 狀態(tài)空間描述 （ 內(nèi)部描述 ） ：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu) ， 是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述 。 2) 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 ： 能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時(shí)域行為或運(yùn)行過(guò)程的一組獨(dú)立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。一般形式為 ? ?( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t t?? ?( ) ( ) , ( ) ,y t g x t u t t? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 8 或離散形式 ? ?? ?( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,x t f x t u t ty t g x t u t t??? ?? ?1( ) ( ) , ( ) ,( ) ( ) , ( ) ,k k k kk k k kx t f x t u t ty t g x t u t t? ??9) 線性系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。 nn?圖中， I為 ( )單位矩陣， s是拉普拉斯算子， z為單位延時(shí)算子。 動(dòng)態(tài)方程對(duì)于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個(gè)變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)描述。 對(duì)圖 85（ a） ，不失一般性 ， 假定電容器初始電壓值均為 0， 有 11 因此 ， 只有一個(gè)變量是獨(dú)立的 ， 狀態(tài)變量只能選其中一個(gè) ， 即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 。 解 已知 0,10 01,10 01,20 10 ????????????????????? ?? DCBA 故 ???????????????????????????210)2(11201)(11ssssssAsI??????????????????????????????????????????? ?210)2(111001210)2(111001)( 1ssssssssBAsI 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 13 .1 由物理模型建動(dòng)態(tài)方程 根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動(dòng)態(tài)方程 線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 RLC 電路 例 13 試列寫如圖所示 RLC的電路方程 ， 選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程 ， 并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論 。 例 14 由質(zhì)量塊 、 彈簧 、 阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示 ， 具有力 F和阻尼器氣缸速度 V 兩種外作用 ， 輸出量為質(zhì)量塊的位移 ， 速度和加速度 。 設(shè) 。 110 , ?nhhh ?由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是 n個(gè)。 bA和 A0121 ???? ?n??? ? 時(shí)， 的形式不變， bA和 ? ?000 ???c22 當(dāng) 時(shí) ， 不變 ， )()()(sDsNbsGn ??cbA , ubcxy n??當(dāng) 時(shí) ， 若按下式選取狀態(tài)變量 0?nb Toc AA ? Toc cb ? Toc bc ?式中 ， T為轉(zhuǎn)置符號(hào) ， 則有 ?????????????????????? 1210100010001000naaaaA???????????????????????110nb????? ?100 ??c注意 的形狀特征 。 解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 212 21)()()(??? ??????nssTssUsYsG于是 ， 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為 ???????21ccc xxx ????????? ??? 2102cA ???????10cb ? ?Tc c 1?由 G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量 z有 22z z z uy Tz z?? ?? ? ???對(duì) y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式 ， 則有 TuTzzTzzTy ?????? 2)21( ??? ?????令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入 ， 輸出量的關(guān)系； ,1 zxc ? ,2 zxc ??)21()()21(])21([22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc???????????????????????可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為 22y y y T u u? ? ?? ? ? ????????21ooo xxx ????????????210 2oA ???????Tbo1 ? ?10?oc24 狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為 122oox y y T u x y??? ? ? ?該系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖 ： （ a）可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) （ b）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 2） 只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況 當(dāng) 只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程除了可化為 可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型以外，還可化為對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程，其 A陣是一個(gè)對(duì)角陣。 約當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖 30 .4 由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動(dòng)態(tài)方程 單輸入 單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為： )()1()1()()()1()1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn??????????????????????兩端取 z變換并整理得 111 1 0 1 1 01 1 0 1 1 0()()()n n nn n nnn n n nnnb z b z b z b z zYzG z bUz z a z a z a z a z a z a? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? G(z)稱為脈沖傳遞函數(shù) ， 利用 z變換關(guān)系 和 ，可以得到動(dòng)態(tài)方程為： )()]([1 kxzX ii ?? ? )1()]([1 ??? ? kxzzX ii? ?1122110 1 2 10 1 1() 0( 1 ) 0 1 0 0() 0( 1 ) 0 0 1 0()( ) 0( 1 ) 0 0 0 11( 1 ) ()( ) ( ) ( )nnnn nnnxkxkxkxk