【正文】 ) 狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量 ： 能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時域行為或運(yùn)行過程的一組獨(dú)立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個變量稱為狀態(tài)變量。 分析方法 : 時域法 (低階 1～ 3階 ) 根軌跡法 頻域法 適應(yīng)領(lǐng)域 :單輸入－單輸出 （ SISO） 線性定常系統(tǒng) 缺 點(diǎn) :只能反映輸入－輸出間的外部特性 ， 難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài) 。 7 1) 輸入： 外部對系統(tǒng)的作用（激勵）； 控制： 人為施加的激勵； 輸入分控制與干擾。 5) 狀態(tài)方程： 描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項(xiàng)。 10 ? 討論： 狀態(tài)變量的獨(dú)立性。 實(shí)際上 ， 三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容 。 試列寫該系統(tǒng)的動態(tài)方程 。 uhxy 01 ??其余（ n－ １）個狀態(tài)方程如下 n個。設(shè)D(s)可分解為 D(s)= 式中， 為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和 )()(sDsN)()(sDsN)())(( 21 nsss ??? ??? ?n??? , 21 ?1( ) ( )( ) ( )n ii icY s N sU s D s s ???? ??25 而 ， 為 在極點(diǎn) 處的留數(shù) ， 且有 Y(s)= U(s) iii sssDsNc?? ??????? ?? )()()( )( )(sDsN i? ?? ?ni iisc1 ?若令狀態(tài)變量 其反變換結(jié)果為 )(1)( sUssXii ??? ni ,2,1 ??1( ) ( ) ( )( ) ( )i i iniiix t x t u ty t c x t????? ?展開得 1 1 12 2 21 1 2 2n n nnnx x ux x ux x uy c x c x c x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 （ 其狀態(tài)變量如圖 (a)所示 ） 1 1 12 2 30 110 1n n nxxuxx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?1212 nnxxy c c cx???????????????26 若令狀態(tài)變量 則 Y(s)= )()( sUs csXiii ?????nii sX1)(進(jìn)行反變換并展開有 1 1 1 12 2 2 212n n n nnx x c ux x c ux x c uy x x x?????????? ? ? ?其向量 矩陣形式為 1 1 1 12 2 3 200n n n nx x cx x cux x c???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?131 1 1nxxyx???????????????其狀態(tài)變量圖如圖 (b)所示 ，兩者存在對偶關(guān)系 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 如下： 27 （ a） （ b） 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖 3） 含重實(shí)極點(diǎn)時的情況 當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實(shí)極點(diǎn)之外還含有重實(shí)極點(diǎn)時，不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程，其 A陣是一個含約當(dāng)塊的矩陣。 ???????????????????14)2)(1(3)(ssssssG例 17 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ，求其傳遞 矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對角型實(shí)現(xiàn)。 )0()()( 1 xAsIsX ???? ? )0()(L)( 11 xAsItx ?? ?? )0()( xetx At? 11= L ( )Ate sI A???????Ate例 21 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，試用拉氏變換求解。 21 ttt ??)( 21 tt ?? )()( 21 tt ??? 與)()( 21 tt ??? 與Itttttt ????????????? )0()()()()()()(t?1( ) ( ) ( 0) , ( 0) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x x t x t t x t? ? ??? ? ? ?證明 :由性質(zhì) 3）有 根據(jù) 的這一性質(zhì)， 對于線性定常系統(tǒng)，顯然有 5) )()()(1122 txtttx ???)()()()()0(),0()()( 1111111 txttxtxxttx ??????? ?)()()()()()0()()( 11211222 txtttxttxttx ?????????)(1tx )( 2tx )( 12 tt ?? 證明 ：由于 則 即由 轉(zhuǎn)移至 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 47 )( 02 tt ?? )( 12 tt ??? )( 01 tt ??6) )()()( 0022 txtttx ??? )()(( 0011 txtttx ???)()()( 1122 txtttx ??? )( 12 tt ??)( 01 tt ??? )(0tx )( 02 tt ??? )(0tx 證明：由 和 得到 )()]([ ktt k ???)()()]([ )( kteeet ktAk A tkAtk ????? ＝BAAB ? AtBtBtAttBA eeeee ??? )( 7 ) 8) 若 ，則 證明： ?????? ????????????????tttttttteeeeeeeet22222222)( At),(1??例 24 已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 ，試求 。 2) 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 ： 如果對于任意小的 ? 0， 均存在一個 ， 當(dāng)初始狀態(tài)滿足 時 ，系統(tǒng)運(yùn)動軌跡滿足 lim ， 則稱該平衡狀態(tài) xe 是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的 ， 簡稱是穩(wěn)定的 。(l i m 00
。 ( , ) 0eex f x t?? ex0x?1) 平衡狀態(tài) : 李雅普諾夫穩(wěn)定性概念 平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知狀態(tài)方程 ， 令 所求得的解 x ,便是平衡狀態(tài) 。 ( 1 , 2 , , 1 )i i k m? ? ? ?45 例 23 已知 ，求 。 1) 冪級數(shù)法 :設(shè)齊次方程的解是 t的向量冪級數(shù) 式中， 都是 n維向量，且 ，求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程，得 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動 )()( tAxtx ???? ?????? kk tbtbtbbtx 2210)(?? , 10 kbbbx 0)0( bx ?)(2)( 2210121 ????? ??????????? ? kkkk tbtbtbbAtkbtbbtx等號兩邊對應(yīng)的系數(shù)相等 ， 有 ??010323021201!1161312121bAkAbkbbAAbbbAAbbAbbkkk????????40 故 2211( ) ( ) ( 0 )2! kkx t I A t A t A t xk? ? ? ? ? ?定義 2201 1 12 ! !At k k k kke I At A t A t A tkk??? ? ? ? ? ? ? ?則 )0()( xetx At? 稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù) ,又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為 ： 求解齊次狀態(tài)方程的問題，核心就是計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問題 。 通常 , , 的特性并不相同 ， 具有不同的分母 ， 設(shè)最小公分母為： ),2,1)((? qisG i ??)(?1 sG )(?2 sG )(?, sGq?0111)( asasassD nnn ????? ?? ? 的一般形式為 )(? sG11 , 1 11 1012 , 1 21 201, 1 1 01()()nnnnnq n q qssssGsDsss? ? ?? ? ?? ? ?????????? ? ???? ? ?? ????? ? ???將 作串聯(lián)分解并引入中間變量 Z， 令 若將 A陣寫為友矩陣 ， 便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程： )(? sG )1(21 ,),()()( ????? nn zxzxzxsDsUsZ ??1210 1 2 100 1 0 000 0 1 000 0 0 11nn nxxx u A x b uxa a a a x???? ?????? ?????? ???? ????? ? ? ??? ???? ?????? ??? ? ? ??? ????每個子系統(tǒng)的輸出方程 ： 33 每個子系統(tǒng)的輸出方程 ： 1 1 110 11 1 , 12 20 21 2 , 1 2 20 1 , 1nnq q q nq q qy x dy x dy u C x duy x d? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 可以看到 ，單輸入， q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為 q維列向量，輸出矩陣為（ q n）矩陣，故不存在其對偶形式，即 不存在可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。 可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖 ： cA, cA, （ 對偶關(guān)系 ） 可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 可觀測標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖 23 例 16 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為 ，試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。 是 n個。 根據(jù)回路電壓定律 ei dtCdtdiLRi ??? ?1 電路輸出量 y 為 1cy e idtC?? ? 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓 ， 即 則狀態(tài)方程為 ix ?1 ?? idtCx 12eLxLxLRx 11 211 ?????121 xCx ?? 輸出方程為 2xy ?14 其向量 矩陣形式為 ? ? ?????????????????????????????????????????2121211001011xxyeLxxCLCRxx??簡記為 cxybeAxx????式中， ? ?10,01,011,2121 ???????