【正文】 無(wú)關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。當(dāng)采樣周期 T足夠小時(shí)，按導(dǎo)數(shù)定義有 代入（ 85a）得到離散化狀態(tài)方程 對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計(jì)算求數(shù)值解的方法進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。 0? 1? 1k??Ate例 22 已知 ， 求 。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)構(gòu)成輸入矩陣，而只能取元素全為 1的輸入矩陣。 這里僅限于 單輸入 多輸出和 多輸入 單輸出 系統(tǒng)。 若動(dòng)態(tài)方程中的 具有這種形式 ， 則稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 。 由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量 ， 設(shè) x? x? kxFkxVxfxm ???? )( ???fk,m,xxxx ??? 21 ,xyxxyxxy ??? ????? 32211 ,16 于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程 ? ?FkxVxfmxxxx???????12221)(1????其向量 矩陣形式為 ??????????????????????????????????????VFmfmxxmfmkxx 1 00102121??112231 0 0 00 1 0 01yx Fyx Vk f fym m m m? ? ? ???? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?? ????? ? ? ? ?????????? ? ? ? ?? ? ? ? 由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程 1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： uyayayayay nnnnn 001)2(2)1(1)( ??????? ???? ?? 選 n個(gè)狀態(tài)變量為 有 )1(21 , ???? nn yxyxyx ???????????????????????11211013232xyuxaxaxaxxxxxxxnnnnn??????得到動(dòng)態(tài)方程 cxybuAxx????17 式中 ? ?1210 1 2 1 00 1 0 0 00 0 1 0 0, , , 1 0 00 0 0 1 0nnnxxx A b cxx a a a a ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ： ubububuyayayay nnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ????????? ???? ???? 一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù) n。 解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流 、 電阻器電壓 、 電容器的電壓與電荷 、 電感器的電壓與磁通 。 例 1－ 1 試確定圖 85中（ a）、（ b）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為 10) 線性定常系統(tǒng)： 線性系統(tǒng)的 A， B， C， D或 G， H， C， D中的各元素全部是常數(shù)。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時(shí)，稱為狀態(tài)向量。 ? 現(xiàn)代控制理論： 數(shù)學(xué)模型 :以一階微分方程組成差分方程組表示的動(dòng)態(tài)方程 分析方法 :精準(zhǔn)的時(shí)域分析法 適應(yīng)領(lǐng)域 ： （ 1） 多輸入－多輸出系統(tǒng) （ MIMO、 SISO、 MISO、 SIMO） （ 2） 非線性系統(tǒng) （ 3） 時(shí)變系統(tǒng) 優(yōu)越性： （ 1） 能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài) （ 2） 便于考慮初始條件 （ 與傳遞函數(shù)比較 ） （ 3） 適用于多變量 、 非線性 、 時(shí)變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng) （ 4） 便于計(jì)算機(jī)分析與計(jì)算 （ 5） 便于性能的最優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制 內(nèi)容： 線性系統(tǒng)理論 、 最優(yōu)控制 、 最優(yōu)估計(jì) 、 系統(tǒng)辨識(shí) 、 自適應(yīng)控制 近似分析 3 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第二章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 第三章 控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 第四章 線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性 第五章 線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解 第六章 線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析 4 ? 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 ? 狀態(tài)空間描述常用的基本概念 ? 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 ? 線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間 5 典 型 控 制 系 統(tǒng) 方 框 圖 執(zhí)行器 被控對(duì)象 傳感器 控制器 控制輸入 觀測(cè) y 控制 u 被控過(guò)程 x 反饋控制 被 控 過(guò) 程 puuu?21nxxx ?, 21qyyy?21 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法 6 典型控制系統(tǒng) 由被控對(duì)象 、 傳感器 、 執(zhí)行器和控制器組成 。 狀態(tài)空間描述 （ 內(nèi)部描述 ） ：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu) ， 是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述 。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。 nn?圖中， I為 ( )單位矩陣， s是拉普拉斯算子， z為單位延時(shí)算子。 對(duì)圖 85（ a） ，不失一般性 ， 假定電容器初始電壓值均為 0， 有 11 因此 ， 只有一個(gè)變量是獨(dú)立的 ， 狀態(tài)變量只能選其中一個(gè) ， 即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為 。 例 14 由質(zhì)量塊 、 彈簧 、 阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示 ， 具有力 F和阻尼器氣缸速度 V 兩種外作用 ， 輸出量為質(zhì)量塊的位移 ， 速度和加速度 。 110 , ?nhhh ?由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是 n個(gè)。 解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 212 21)()()(??? ??????nssTssUsYsG于是 ， 可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為 ???????21ccc xxx ????????? ??? 2102cA ???????10cb ? ?Tc c 1?由 G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量 z有 22z z z uy Tz z?? ?? ? ???對(duì) y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式 ， 則有 TuTzzTzzTy ?????? 2)21( ??? ?????令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入 ， 輸出量的關(guān)系； ,1 zxc ? ,2 zxc ??)21()()21(])21([22222221TTTuTyyxTTuTyyTxcc???????????????????????可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為 22y y y T u u? ? ?? ? ? ????????21ooo xxx ????????????210 2oA ???????Tbo1 ? ?10?oc24 狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為 122oox y y T u x y??? ? ? ?該系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖 ： （ a）可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) （ b）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 2） 只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況 當(dāng) 只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程除了可化為 可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型以外，還可化為對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程，其 A陣是一個(gè)對(duì)角陣。 2) MISO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) : ?多輸入－單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)由 p個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)輸出由子系統(tǒng)輸出合成為 ： 34 式中 1 1 2 21212( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()()( ) ( ) ( ) ( ) ( )()ppppY s G s U s G s U s G s U sUsUsG s G s G s G s U sUs? ? ? ????????????? ????????1 2 1 2 2 21 2 1 2?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?( ) ( ) ( ) ( )p p pppG s G s G s G s d G s d G s d G sd d d G s G s G s d G s????? ? ? ? ??? ????? ? ? ???同理設(shè) , , 的最小公分母為 D（ s） ， 則 )(?1 sG )(?2 sG )(?, sGq?? ? ? ?011,101111,121 )(1)( ppnpnnp sssssDdddsG ?????? ???????? ??? ????若將 A陣寫成友矩陣的轉(zhuǎn)置形式 ， 便可得到可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)方程 ： ? ?10 21 0 110111 21 22112 22 2 3231 1 , 1 2 , 1 , 1120 0 01 0 00 1 00 0 10 0 1ppppn n n n p npuxauxaux a x Ax Buua xy x d d d? ? ????? ? ?? ? ??? ? ???? ???????? ????????????? ??????? ? ? ? ??????? ????????????? ???? ??????????u c x du??35 可見 ， p維輸入，單輸入系統(tǒng)的輸入矩陣為（ n p）矩陣輸出矩陣為一行矩陣，故不存在其對(duì)偶形式，即 不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 。 2) 拉普拉斯變換法 ： Ate () Atte??)()( tAxtx ??對(duì) 進(jìn)行拉氏變換，有： 進(jìn)行拉氏反變換，有： 與 相比有： 它是 的閉合形式。 2012A???? ??????Ate解 先求矩陣 A 的特征值，由得： 20012? ?? ???2 4 4 0??? ? ?1,2 2? ??20121( 2 )ttete?????? ? ? ??? ???2021( ) (1 2 )()ttt e tt te????? ???? ???????????????? ??????????? ??? 10121021001)21( 222teteteetttAt46 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 具有如下運(yùn)算性質(zhì)： )(t?I?)0(?1) ( ) ( ) ( )t A t t A? ? ? ? ?2) )()()()()( 122121 tttttt ??????????3) 11( ) ( ) , ( ) ( )t t t t? ? ? ? ? ? ? ?－－4) 表明 與 可交換，且 ()At? ()tA? A?? )0(? 在式 3）中，令 便可證明； 表明 可分解為 的乘積，且 是可交換的。 （ 1） 只有狀態(tài)穩(wěn)定 ， 輸出必然穩(wěn)定； （ 2） 穩(wěn)定性與輸入無(wú)關(guān)