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西工大—現(xiàn)代控制理論課件(完整版)

2025-09-20 23:30上一頁面

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【正文】 1txtxtxtx??解 ?????? ????????? ??????????? 32 132 1000 ssssAsI41 狀態(tài)方程的解為 : ?????? ??????? ??? ? ssssAsI AsIadjAsI 2 13)2)(1( 1)()( 1?????????????????????????2211221221112112ssssssss?????????????????????????tttttttteeeeeeeeAsILt2222112222])[()(??????????????????????????????????????????)0()0(2222)0()0()()()(2122222121xxeeeeeeeexxttxtxtttttttt3) 凱萊-哈密頓定理 矩陣 A滿足它自己的特征方程。 例 已知單輸入 多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為 ,求其傳遞矩陣的可控標準型實現(xiàn)及對角型實現(xiàn)。設 D(s)可分解為 D(s)= 式中 為三重實極點, 為單實極點,則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和: )()(sDsN)()()( 431 nsss ??? ??? ?1? n?? ,4 ?131 1 1 23211 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nii iccY s N s c cU s D s s s s s? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??28 其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實極點時相同,可分別得出向量 矩陣形式的動態(tài)方程: 11 11112 12113 1314441 010 01101nnnxxxxuxx?????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ????? ? ? ?? ?1 1 1 2 1 3 4 ny c c c c c x?11 111 1112 121 1213 131 1344441010nnnnccxx cuccxx?????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ? ????? ? ? ?? ?0 0 0 1 1yx?29 其對應的狀態(tài)變量圖如圖 ( a) , ( b) 所示 。 uhxxuhxxuhxxnnn 11232121?? ??????????# 對#式求導,有 : ( ) ( ) ( 1 )0 1 1( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )1 1 0 0 0 0 1 1()n n nnnn n n nnnx y h u h u h ua y a y a y b u b u h u h u h u??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19 由展開式將 均以 及 u 的各階導數(shù)表示,經(jīng)整理可得 yyy n ,)1( ??? ixuhahahabuhahahbuhahbuhbxaxaxnnnnnnnnnnnnn)()()()(0011110012111)1(0111)(0110???????????????????????????????????令上式中 u 的各階導數(shù)的系數(shù)為零 , 可確定各 h 值 01211101110hahabhhabhbhnnnnnn??????????????記 0011110 hahahabh nnn ????? ?? ?故 uhxaxax nnnn ????? ? 110 ??則系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ducxybuAxx?????式中 ? ? 012112100001100001000010hdchhhhbaaaaAnnn?????????????????????????????????????????????????????20 若輸入量中僅含 m 次導數(shù)且 ,可將高于 m 次導數(shù)項的系數(shù)置 0,仍可應用上述公式。 分別為質(zhì)量 、 彈簧剛度 、 阻尼系數(shù); x為質(zhì)量塊位移 。 對圖 ( b) x1 = x2, 因此兩者相關(guān) , 電路只有兩個變量是獨立的 , 即 ( x1和 x3) 或(x2和 x3), 可以任用其中一組變量如 ( x2, x3) 作為狀態(tài)變量 。 由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的,因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不是唯一的。一般情況下,狀態(tài)方程既是非線性的,又是時變的,可以表示為 6) 輸出方程: 描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程,當輸出由傳感器得到時,又稱為觀測方程。 1) 輸出: 系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息 。控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 2 引 論 ? 經(jīng)典控制理論 : 數(shù)學模型 :線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù) 。若輸出是由傳感器測量得到的,又稱為 觀測 。輸出方程的一般形式為 7) 動態(tài)方程: 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動態(tài)方程,又稱為狀態(tài)空間表達式 。但是,用獨立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應該是唯一的,與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。 13232 xcccx?? 13223 xcccx??12 令初始條件為零,對線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程進行拉氏變換,可以得到 11( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( )X s s I A B U sY s C s I A B D U s????? ? ?系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣(簡稱傳遞矩陣)定義為 DBAsICsG ??? ? 1)()(例 12 已知系統(tǒng)動態(tài)方程為 ????????????????????????????????????????????????????2121212121100110012010xxyyuuxxxx?? 試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 。 雙輸入-三輸出機械位移系統(tǒng) 解 根據(jù)牛頓力學可知 , 系統(tǒng)所受外力 F與慣性力m 、 阻尼力 f( - V )和彈簧恢復力 構(gòu)成平衡關(guān)系 , 系統(tǒng)微分方程如下 : 這是一個二階系統(tǒng) , 若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度 , 系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定 , 故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量 。 nm? .3 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程 01111110)()()(asasasbsbsbsbsUsYsGnnnnnnn????????????????應用綜合除法有 )()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn ????????????????? ??? 式中, 是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù),當 G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時, , 是嚴格有理真分式,其分子各次項的系數(shù)分別為 nb0?nb )( )(sDsNnnnnnnbabbabbab111111000??? ??????????下面介紹由 導出幾種標準型動態(tài)方程的方法: 1) 串聯(lián)分解 如圖,取 z為中間變量,將 分解為相串聯(lián)的兩部分,有 )()(sDsN)()(sDsNzzzyuzazazaznnnnn01)1101)11)(??? ???????????????++((選取狀態(tài)變量 )1(21 , ???? nn zxzxzx ??)()(sDsN21 則狀態(tài)方程為 1223( 1 )0 1 10 1 1 2 1nnnnnxxxxx a z a z a z ua x a x a x u?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?輸出方程為 nn xxxy 12110 ????? ??? ?其向量 矩陣形式 cxybuAxx????式中, ?????????????????????naaaaA?????????210100001000010?????????????????1000?b? ?110 ?? nc ??? ?當 具有以上形狀時, 陣稱為友矩陣,相應的狀態(tài)方程則稱為可控標準型。 上面兩式也存在對偶關(guān)系 。解 由于系統(tǒng)是單輸入 , 多輸出的 , 故輸入矩陣只有一列 , 輸出矩陣有兩行 。即若設 n階矩陣 A的特征多項式為 ? ? 0111)( aaaAIf nnn ??????? ?? ????? ? 則有 : 0)(0111 ?????? ?? IaAaAaAAf nnn ?42 從該定理還可導出以下兩個推論: 推論 1 矩陣 A的 次冪,可表為 A的( n1)階多項式 : )( nkk ?mnmmk AA ????10?)( nk ?推論 2 矩陣指數(shù) 可表為 A的( n1)階多項式,即: 且各作為時間的函數(shù)是線性無關(guān)的。通過變量代換,上式又可表示為: ??? dtBuxttx t )()()0()()( 0 ?? ????若取 作為初始時刻,則有 0t000() ()0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttA t t Atx t e x t e B u d t t x t t B u d? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???49 2) 拉普拉斯變換法 將 式兩端取拉氏變換,有 11( ) ( 0 ) ( ) ( )( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( )s X s x A X s B U sX s s I A X s I A B U s??? ? ?? ? ? ?進行拉氏反變換有 )]()[()0()()( 1111 sBUAsILxAsILtx ???? ????例 25 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為 uxxxx ????????????????????????????1032102121??12( 0) [ ( 0) ( 0) ] Tx x x?( ) 1( )u t t?且 試求在 作用下狀態(tài)方程的解。( 00exx ?02021100 )()( nenee xxxxxx ?????? ?3) 一致穩(wěn)定性: 通常 δ 與 ?、 t0 都有關(guān)。定常系統(tǒng)的δ 與 t0
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