【正文】 0ExxEfExEyxx ?處可導(dǎo) ,函數(shù)的相對改變量 前頁 結(jié)束 后頁 是 的函數(shù) ,若 可導(dǎo) 000lim0 xxyyExEyxxx ??????000lim yxxyx ????? )()( 000 xfxxf ??0x0xxExEy? 對一般的 x )(xfxxyyExEyx ????? 0l i myxxy????? 0limyxy?? x)(xf 函數(shù) 在點(diǎn) 的彈性 反映了隨著 的變化 )(xf )( xfExEx 變化幅度的大小 ,也就是 隨 變化反映的強(qiáng)烈列程度或靈敏度 . )( 0xfExE 表示在 ,當(dāng) 產(chǎn)生 1%的變化時(shí) , 近似的 稱為 當(dāng) 為定值時(shí) 則有 改變 %)( 0xfExE0xx ?xx )(xfx)(xf )(xf前頁 結(jié)束 后頁 ( 為常數(shù)）的彈性函數(shù)。 ,試求 例 1 設(shè)函數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 設(shè) C為總成本， 下面介紹幾個(gè)常見的邊際函數(shù) : 1．邊際成本 1C為固定成本， 則有 為可變成本， 2C為平均成本， C 為邊際成本， C? 為產(chǎn)量， Q總成本函數(shù) 12( ) ( )C C Q C C Q? ? ?平均成本函數(shù) 12 ()() C C QC C Q? ? ?邊際成本函數(shù) ()C C Q??? 2( ) 1 0 0 4QC C Q? ? ?例 2 已知某商品的成本函數(shù)為 ,求當(dāng) 時(shí)的總成本，平均成本及邊際成本。 21??x )1,21(e?)1,21( e前頁 結(jié)束 后頁 有些函數(shù)的定義域或值域是無窮區(qū)間 ， 此時(shí)函數(shù)的圖形向無限遠(yuǎn)處延伸 ， 如雙曲線 、 拋物線等 。 )(xf? 0)( ?? xf )(xf?討論在每個(gè)區(qū)間 的符號(hào) 。 0)( ?? xfa b a b 函數(shù)的單調(diào)性及判別法 前頁 結(jié)束 后頁 例 2 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . xxxf 3)( 3 ??可導(dǎo)， 且等號(hào)只在 x=0 成立 . 0c o s1 ???? xy解 因?yàn)樗o函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，在 內(nèi) ],[ ??? ),( ???例 1 判定函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性 . xxy s in?? ],[ ???所以 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)增加 . xxy s in?? ],[ ???解 )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf所以當(dāng) x = 1, x = 1 時(shí) 0)( ?? xf x (∞,1) 1 (1,1) 1 (1,+∞) f180。 )()( afbf ?xxg ?)(三個(gè)中值定理的關(guān)系 前頁 結(jié)束 后頁 如果在某極限過程下 ,函數(shù) f ( x)與 g(x)同時(shí)趨于零或者同時(shí)趨于無窮大，通常把 的極限稱為未定式的極限，洛必達(dá)法則就是解決這類極限的工具。 從圖中可看出 ,極小值不一定小于極大值，如圖中 D點(diǎn)是極小值， A點(diǎn)是極大值。 )( xfy ? xxf ta n)( ??x)(xfy ?)(xf?( ) t a nf x x? ?x )(xf?M1 x 1? 2?M2 y o M1 x y o M2 前頁 結(jié)束 后頁 定理 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 （ 1）如果 ∈ 時(shí)，恒有 ，則曲線 在 內(nèi)為凹的； （ 2）如果 ∈ 時(shí)，恒有 ，則曲線 在 內(nèi)為凸的。 前頁 結(jié)束 后頁 例 5 作函數(shù) 的圖形。 解 平均成本 ( ) 5 4( ) 1 8 6CQC Q Q? ? ? ?( ) 6 ,254CQ Q? ? ? ? 3108()C?? ?令 解得 ( ) 0CQ? ? 3Q ? ,由于 271 0 8)3( ???C所以 是平均成本 的最小值點(diǎn)也就是平均成本最小的產(chǎn)量水平 3Q ? ()CQ此時(shí) )3(54)3( CC ???即 時(shí) ,邊際成本等于平均成本也使平均成本達(dá)到最小 . 3Q ?前頁 結(jié)束 后頁 5．庫存管理問題 在總需求一定的條件下，企業(yè)所需原材料的訂購費(fèi)用與 保管費(fèi)用是成反比的。 0PP ?總之，市場上商品價(jià)格將圍繞均衡價(jià)格擺動(dòng) 0QDQ SQDQ SQ前頁 結(jié)束 后頁 而將 的商品稱為富有彈性商品． 由于 ，而邊際收益 當(dāng) 時(shí)， ，Ｒ取得最大值． ()R P Q P f P?? ))(1)(()()(1)()()( PPfPf PPfPfPfPPfR ??????????? ???????由此可知，當(dāng) 時(shí)， ，Ｒ遞增，即價(jià)格上漲會(huì)使總收益增加；價(jià)格下跌會(huì)使總收益減少． 1)( ?P?1)( ?P?當(dāng) 時(shí)， ，Ｒ遞增，即價(jià)格上漲會(huì)使總收益減少；價(jià)格下跌會(huì)使總收益增加． 1)( ?P?在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將 的商品稱為缺乏彈性商品， 將 的商品稱為單位彈性商品， 0??R0??R0??R1)( ?P?1)( ?P?1)( ?P?。已知收益 QL( ) 2 0 0 0 1 0 0??C = C解 根據(jù)題意，總成本函數(shù)為 是年產(chǎn)量 的函數(shù) 21400() 280000R R Q? ???? ???0 4 0 0Q??400Q ?問每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)總利潤最大 ?此時(shí)總利潤是多少 ? 從而可得總利潤函數(shù)為 ( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?213 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 026 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0Q Q Q? ? ? ? ????? ???R前頁 結(jié)束 后頁 ( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ??? 3 0 0 0 4 0 01 0 0 4 0 0Q? ? ???? ???令 得 0() ??L 300Q ?由于 ,故 時(shí)利潤最大 01)3 0 0( ?????L 300Q ?此時(shí) 2500020220900002190000)300( ?????L 即當(dāng)生產(chǎn)量為 300個(gè)單位時(shí) , 總利潤最大 ,其最大利潤為 25000元 . 前頁 結(jié)束 后頁 設(shè)某企業(yè)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為 個(gè)單位 , 代表總成本 , 代表邊際成本 ,每單位產(chǎn)品的平均成本為 在生產(chǎn)實(shí)踐中 ,經(jīng)常遇到這樣的問題 ,即在既定的生產(chǎn)規(guī)模條件下 ,如何合理安排生產(chǎn)能使成本最低 ,利潤最大 ? Q4 ()CQ()CQ? ()CQC Q?于是 ( ) ( ) ( )C Q C Q Q C Q????由極值存在的必要條件知，使平均成本為極小的生產(chǎn)量 應(yīng)滿足 ,于是得到一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要結(jié)論 : 0Q0( ) 0CQ? ? 使平均成本為最小的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量 ），正是使邊際成本等于平均成本的生產(chǎn)水平（生產(chǎn)量）。 （ 4 （ 5 （ 6）算出一些點(diǎn)，特別是曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 如圖所示 函數(shù)圖形的描繪 前頁 結(jié)束 后頁 如果曲線弧總是位于其切線的下方 ， 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間上是凸的 。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。 AB( , ( ) )Mf??x0()f ?? ?O xy即 前頁 結(jié)束 后頁 則在區(qū)間 內(nèi)至少存在 ),( ba(1) 在閉區(qū)間 上連續(xù)； ],[ ba(2) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)； ),( ba定理 2 設(shè)函數(shù) 滿足下列條件 )(xf)(xfy ?MABba ?T( ) ( )() f b f afba??? ??一點(diǎn) ， ? 使得 拉格朗日中值定理 前頁 結(jié)束 后頁 曲線 處處有不垂直于 軸的切線 如圖 在直角坐標(biāo)系 Oxy ()y f x?x端點(diǎn)連線 AB的斜率為 ( ) ( )f b f aba??所以定理實(shí)際是說存在點(diǎn) ，使曲線在該點(diǎn)的切線 T平行于弦 AB。 3 2xy ?332xy ??其導(dǎo)數(shù)為 當(dāng) 時(shí) 不存在，且不存在使 的點(diǎn) 0?x y? 0??y用 把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，見下表： 0?x x (∞ ,0) (0,+∞ )