【正文】 本講的考察形式 為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則。 思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。 （ 2）如圖， B、 D 到平面 ? 的距離為 2，則 D、 B的中點(diǎn)到平面 ? 的距離為 32，所以 C 到平面 ? 的距離為3； B、 C 到平面 ? 的距離為 2， D 到平面 ? 的距離為 x ，則 1 2 2 1xx? ? ? ?或 ，即1x? ，所以 D 到平面 ? 的距離為 1； C、 D 到平面 ? 的距離為 2，同理可得 B 到平面 ? 的距離為 1；所以選①③。 ?異面直線 BD 和 SC 之間的距離為： OC ndn??22( , , 0) ( 2 , 2 ,1 )22( 2 , 2 ,1 )? ? ?? ? 2 2 21 1 0 255( 2 ) ( 2 ) 1????? ? ?。 解法五。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取 “相等角 ”或取 “補(bǔ)角 ”。求二面角 BADB ??1 的大小。 （ 1）求平面 PDE 與平面 PAB 所成二面角的大小（用正切值表示） ； （ 2）求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小。 題型 2：直線與平面所成的角 例 3． PA、 PB、 PC 是從 P 點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為 060 ，那么直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值是（ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 36 解：構(gòu)造正方體如圖所示，過點(diǎn) C 作 CO⊥ 平面 PAB，垂足為 O，則 O 為正 ΔABP 的中心，于是 ∠ CPO 為 PC 與平面 PAB 所成的角。故選 A。 以上所說的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若 θ 為線面角， α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線 所成的角，則有 ??? ； （ 3） 確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ① 斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ② 如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射第 2 頁 共 25 頁 影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③ 兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④ 利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： 底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心 (或旁心 )； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （ 4） 二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指 ],0( ? ，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。 題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。課本淡化了利用 空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 具體步驟如下： ① 找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； ② 連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③ 把該角置于三角形中計(jì)算。 （ 4）平面與平面間的距離：只 存在于兩個(gè)平行平面之間．為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離 。由余弦定理可求得 1030cos1 ?? AEF。 點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。 題型 3：二面角 例 5． 在四棱錐 P－ ABCD 中， ABCD 為正方形，PA⊥ 平面 ABCD， PA＝ AB＝ a， E 為 BC 中點(diǎn)。 例 6． （ 1） （ 20xx 年，北京卷高考題）如圖 6，正三棱柱111 CBAABC ? 的底面邊長(zhǎng)為 3，側(cè)棱 3231 ?AA ， D 是 CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 BCBD? 。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。 同理可知： 1C 到平面 CDB 11 的距離為 a33 ，而 aCA 31 ? ，故兩平面間距離為Ｍ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D Ｆ Ｅ 第 10 頁 共 25 頁 A B C D O S x y z 圖 2 a33 ． 解法四．（垂面法）如圖，ＢＤ／／平面 CDB 11 ，1111111 , OODBCADB ?? ， ?11B 平面 CCOO11 ，平面 CCOO11 ? 平面 CDB 11 ＝ CO1 ， 111 DBO ? ，故 O到平面 CDB 11 的距離為 OCORt 1? 斜 邊 上 的 高aaaaCOOOOCh33232211 ????? 。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D O 1O M N Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D E 第 11 頁 共 25 頁 令向量 ( , ,1)n x y? ，且 ,n DB n CS??， 則 00n DBn CS? ???? ????， ( , ,1 ) ( 2 , 2 , 0) 022( , ,1 ) ( , , 2) 022xyxy? ???? ? ? ? ???， 02 2 0xyxy????? ? ? ???， 22xy? ????? ???， ( 2, 2,1)n? ? ? 。（寫出所有正確結(jié)論的 編號(hào) ． ． ） 解析：（ 1） 如圖， B、 D、 A1到平面 ? 的距離分別為 4，則 D、 A1的中點(diǎn)到平面? 的距離為 3，所以 D1到平面 ? 的距離為 6； B、 A1的中點(diǎn)到平面 ? 的距離為 52 ，所以B1到平面 ? 的距離為 5；則 D、 B 的中點(diǎn)到平面 ? 的距離為 32，所以 C 到平面 ? 的距離為 3； C、 A1的中點(diǎn)到平面? 的距離為 72 ，所以 C1到平面 ? 的距離為 7；而 P為 C、C B D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。 B D CCB D CC VV ?? ? 11? ， 13131 1 CCShS B D CB D C ?? ?? ， 131312??h 所以，直 線 1AB到平面 BD 1C 的距離是 131312 。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理 即可找到面的垂線；作棱的垂面。 二．命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 baABOAOB ?? ???? baOBOABA ?? ???? )( RaOP ?? ??? 加法交換率： .abba ???? ??? 加法結(jié)合率： ).()( cbacba ?????? ????? 數(shù)乘分配率： .)( baba ???? ??? ??? 說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。 推論：如果 l 為經(jīng)過已知點(diǎn) A 且平行于已知非零向量 a? 的直線，那么對(duì)任一點(diǎn) O，點(diǎn) P 在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t，滿足等式 OAOP? at?? ① 其中向量 a? 叫做直線 l 的 方向向量。 推論 ： 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x、 y，使 ,MByMAxMP ?? ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有 .MByMAxOMOP ??? ⑤ 在平面 MAB 內(nèi)，點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（ x, y）是唯一的。 ⑴ ( ) ( )a b a b??? ? ? ⑵ a? ⊥ b? ? ba??? =0 ⑵ ba??? =ba? ⑶ 2| | .a a a?? ⑶ ()a b c a b a c? ? ? ? ? ? 四．典例解析 題型 1：空間向量的概念及性質(zhì) 例 1． 有以下命題：①如果向量 ,ab與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么,ab的關(guān)系是不共線；② ,O ABC 為空間四點(diǎn)，且向量 ,OAOBOC 不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn) ,O ABC 一定共面；③已知向量 ,abc是空間的一個(gè)基底，則向量,a b a b c??，也是空間的一個(gè)基底。 題型 2：空間向量的基本運(yùn)算 例 3． 如圖：在平行六面體 1111 DCBAABCD ? 中，M 為 11CA 與 11DB 的交點(diǎn)。 b3 +a2b2+a3b3=0 k，使 a =kb （ 2） 已知向量 a =（ 2， 4， x）， b =（ 2， y， 2）， 若 |a |=6， a ⊥ b ， 則 x+y 的值是（ ） A. － 3 或 1 或 － 1 C. － 3 （ 3） 下列各組向量共面的是 （ ） A. a =(1， 2， 3)， b =(3， 0， 2)， c =(4， 2， 5) B. a =(1， 0， 0)， b =(0， 1， 0)， c =(0， 0， 1) C. a =(1， 1， 0)， b =(1， 0， 1)， c =(0， 1， 1) D. a =(1， 1， 1)， b =(1， 1， 0)， c =(1， 0， 1) 第 21 頁 共 25 頁 解析：（ 1） D； 點(diǎn)撥：由共線向量定線易知 ； （ 2） A 點(diǎn)撥：由題知 ????? ??? ??? 0244 36164 2xy x? ??? ??? 3,4yx 或 ??? ???.1,4yx ； （ 3） A 點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得 。 （ a +b ） (ka － 2b )=k2a 2－ ka a ） b ］ b =9|a |2－ 4|b |2 成立 .故④真 . 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 |b | 另外 x21 +y21 =(x1+y1)22x1y1=1， ∴ 2x1y1=( 26 )2－ 1=21 .∴ x1y1=41 。 n ≤ |m | n ≤ |m | 如向量的數(shù)量積a