【正文】 平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 三．要點精講 1． 空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 預(yù)測 20xx 年高考對本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。 （ 3） 直線到平面的距 離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點到平面間的距離 。 四．典例解析 題型 1：異面直線所成的角 例 1． （ 1） 直三棱住 A1 B1C1—ABC， ∠ BCA= 090 ，點 D F1 分別是 A1B A1C1的中點， BC=CA=CC1，則 BD1 與 AF1 所成角的余弦值是（ ） （ A ）1030 （ B）21 （ C）1530 （ D）1015 （ 2）（ 06 四川） 已知二面角 l???? 的大小為 060 ， ,mn為異面直線，且,mn????，則 ,mn所成的角為（ ） （ A） 030 （ B） 060 （ C） 090 （ D） 0120 解 析 ： （ 1） 連結(jié) D1F1，則 D1F1 //1121 CB， ∵ BC // 11CB ∴ D1F1 // BC21 設(shè)點 E 為 BC 中點， ∴ D1F1 // BE， ∴ BD1∥ EF1， ∴∠ EF1A 或其補(bǔ)角即為 BD1 與 AF1所成的角。 ∴ D1E 與平面 BC1D 所成的角的余弦值為93。 點評：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。即平面 BAP 與平面 PDC 所成二面角的大小為 45176。 評析 ： （ 1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找 ——證 ——求 ”直接簡化成了一步曲： “計算 ”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神 ； （ 2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取)23,1,23(2 ????n 時， 會算得 21,c os 21 ???? nBB ，從而所求二面角為 ?120 ，但依題意只為 ?60 。 由 BCBDCDBB VV1111 ?? ?，即 ? ? aaha ????? 22213124331，得 ah 33? ． 解法三．（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面 CDB 11 ／／平面 BDA1 ，用等體積法易得Ａ到平面 BDA1 的距離 為 a33 。 ( 2, 2, 0)DB?? ， 22( , , 2)CS ?? 。 例 10．（ 1）（ 06 安徽 ） 多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點 A 在平面 ? 內(nèi)，其余頂點在 ? 的同側(cè)，正方體上與頂點 A 相鄰的三個頂點到 ? 的距離分別為 1， 2 和 4， P 是正方體的其余四個頂點中的一個，則 P 到平面 ? 的距離可能是： ______（寫出所有正確結(jié)論的 編號 ． ． ） ① 3； ② 4； ③ 5； ④ 6； ⑤ 7 （ 2） 平行四邊形的一個頂點 A 在平面 ? 內(nèi)，其余頂點在 ? 的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到 ? 的距離分別為 1 和 2 ，那么剩下的一個頂點到平面 ? 的距離可能是：① 1； ② 2； ③ 3； ④ 4； 以上結(jié)論正確的為 ______________。 （ 2）因為 AC 與平面 BD 1C 交于ＡＣ的中點Ｄ，設(shè) EBCCB ?? 11 ，則 1AB //DE，所以 1AB //平面 BDC1 ，所以 1AB 到平面 BD 1C 的距離等于Ａ點到平面 BD 1C 的距離，等于Ｃ點到平面 BD 1C 的距離，也就等于三棱錐 1BDCC? 的高。 3． 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置； ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理； ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視 .二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線。 （ 2）空間向量的應(yīng)用 ① 理解直線的方向向量與平面的法向量 ； ② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系 ； ③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理） ； ④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。 說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而第 16 頁 共 25 頁 空間向量研究的是空間的平移。 ⑶ 若直線 l∥ a? ， lA? ， P 為 l 上任一點， O 為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo) OP的表達(dá)式。 共面向量定理 如果兩個向量 a? 、 b? 不共線，則向量 p? 與向量 a? 、 b? 共面的充要條件是存在實數(shù)對 x、 y，使 .byaxp ??? ?? ① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。 即 ba??? = ?? baba ???? ,cos ， 向量 AB 方向上的正射影在 e? : BAeaABea ??????? ???? ,c o s|| （ 4）性質(zhì)與運(yùn)算率 A a? B a? O a? （ 4） A a? B a? O a? （ 3） A B A? B? e? l a? a? b? a? a? a? b? a? A a? B a? O a? （ 1） O a? a? a? b? a? a? a? b? a? A a? B a? （ 2）第 19 頁 共 25 頁 ⑴ ???? eaea ???? ,cos。像 零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧。 b2=a3 點撥：第（ 2）問在解答時也可以按運(yùn)算律做 。 c ） a －（ c a － 4b a =2|a |2－ |a | c =x1+y1，∴ x1+y1= 26 。 解析：（ 1） 設(shè) m =( 113?a ， 113?b ， 113?c )， n =(1， 1， 1)， 則 |m |=4， |n |= 3 . ∵ m 點評 ： 若 m =(x， y， z)， n =(a， b， c)，則由 m 五．思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點公式 .空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點 O和一個單位正交基底｛ i， j， k｝建立坐標(biāo)系，對于 O 點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則 .一個向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實質(zhì)沒有改變 .因而運(yùn)算的方 法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒變 。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。 b=|a||n |，得 (ax+by+cz)2≤第 24 頁 共 25 頁 (a2+b2+c 2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式 (n=3)。|n |， ∴ m 第 23 頁 共 25 頁 (2)cosa ， b =|||| ba ba?=x1x2+y1y2， 由 (1)知 ， x1+y1= 26 ， x1y1=41 .∴ x1， y1 是方程x2－ 26 x+ 41 =0 的解 . ∴ ???????????,4 26,4 2611yx或 ???????????.4 26,4 2611yx同理可得 ???????????,4 26,4 2622yx或 ???????????.4 26,4 2622yx ∵ a ≠b ， ∴ ?????????????,4 26,4 261221yxyx或 ?????????????.4 26,4 261221yxyx ∴ cosa ， b = 4 26? cos120176。 例 8．（ 1）（ 20xx 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夾角為 120176。 c =（ b b －2b 2=2k2+k－ 10=0， 解得 k=－ 25 ， 或 k=2。 點評：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。若 AB a? ， AD b? ，1AA c? ，則下列向量中與 BM 相等的向量是（ ） M C1CB1D1A1A BD第 20 頁 共 25 頁 ()A 1122a b c? ? ? ()B 1122a b c?? ()C 1122a b c? ? ? ()D cba ?? 2121 解析：顯然 ??????111 )(21 AAABADMBBBBM 1122a b c? ? ?； 答案為 A。其中正確的命題是（ ） ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 解析：對于 ①“如果向量 ,ab與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 ,ab的關(guān)系一定共線”；所以①錯誤。 ① 式叫做平面 MAB 的向量表示式。 在 l 上取 aAB ?? ，則 ① 式可化為 .)1( OBtOAtOP ??? ② 當(dāng)21?t時，點 P 是線段 AB 的中點，則 ).(21 OBOAOP ?? ③ 第 17 頁 共 25 頁 ① 或 ② 叫做 空間直線的向量參數(shù)表示式 ， ③ 是線段 AB 的 中點公式 。 3． 平行向量 (共線向量 )：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做 共線向量 或 平行向量。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對