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高考數(shù)學(xué)空間夾角和距離-免費(fèi)閱讀

  

【正文】 2.向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下,通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示,運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的 性質(zhì)。 b 的應(yīng)用,解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量 a , b , 然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 。 ( 2) 解 : W=F 評(píng)述:本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 5(- 21 ) =13。 (1)求 x1+y1 和 x1y1 的值; (2)求 a , b 的大小 (其中 0< a , b <π ) 。 a ) b a ) b =0 ② |a |- |b ||a - b | ③( b (2)∵ ka +b =k( 1, 1, 0) +( - 1, 0, 2)=( k- 1, k, 2), ka - 2b =( k+2, k, - 4), 且 (ka +b )⊥ ( ka - 2b ), ∴( k- 1, k, 2) 例 4. 已知: ,28)1(,0423 pynmxbpnma ???????? ???????? 且 pnm ??? , 不共面 .若 a? ∥ b? ,求 yx, 的值 . 解: ?a? ∥ b? ,且 ,0 aba ??? ???? 即 .42328)1( pnmpynmx ?????? ??? ?????? 又 pnm ???? , 不共面 , .8,13,42283 1 ?????????? yxyx 點(diǎn)評(píng):空間向量在運(yùn)算時(shí),注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。 例 2. 下列命題正確的是( ) ()A 若 a 與 b 共線, b 與 c 共線,則 a 與 c 共線; ()B 向量 ,abc共面就是它們所在的直線共面; ()C 零向量沒(méi)有確定的方向; ()D 若 //ab,則存在唯一的實(shí)數(shù) ? 使得 ab?? ; 解析: A 中向量 b 為零向量時(shí)要注意, B 中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣, D 中需保證 b 不為零向量。與任意兩個(gè)非零向量共面,所以,三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是 0? 。 4. 向量與平面平行:如果表示向量 a? 的有向線段所在直線與平面 ? 平行或 a? 在 ? 平面內(nèi),我們就說(shuō)向量 a? 平行于平面 ? ,記作 a? ∥ ? 。 共線向量定理:對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a? ( a? ≠0 )、 b? , a? ∥ b? 的充要條件是存在實(shí)數(shù)? 使 b? = ? a? 注: ⑴ 上述定理包含兩個(gè)方面: ① 性質(zhì)定理:若 a? ∥ b? ( a? ≠0),則有 b? = ? a? , 其中 ? 是唯一確定的實(shí)數(shù)。如位移、速度、力等。而間接法中常用的第 15 頁(yè) 共 25 頁(yè) 是等積法及轉(zhuǎn)移法; ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離,然后將所求量置于一個(gè)三角形中,通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離。 易知 1 2 1 3 2 3 0e e e e e e? ? ? ? ? ?, B A C D 1A 1B 1C 第 14 頁(yè) 共 25 頁(yè) 1 2 32 , 2 6 , 2 2 ,A P e A E e E C e? ? ? PF PA AF?? = 12PA AC? = 1 ()2PA AE EC??= 1 2 32 6 2e e e? ? ? , 設(shè) 1 2 3n xe ye e? ? ? 是平面 ? 的一個(gè)法向量,則 ,n AE n PF??, 00n AEn PF? ????? ????,即222 2 21 2 32 6 02 6 2 0yex e y e e? ????? ? ? ??022yx????? ???, 132 .2n e e? ? ? ?直線 AE 與平面 ? 間的距 離 d? Apnn? =1 1 3221322 ( )2 23 .322e e eee???? 五.思維總結(jié) 1.這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分,學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義,并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識(shí)(特別是余弦定理)熟練解題。( 2)求直線 1AB 到平面 BDC1 的距離。 112222221 ????? G E FS , hhV E F GB 113211231 ????? , 2231 ????BEFGV , 11112??h . 解法二. ?E,F分別是AB,AD的中點(diǎn), ?EF//BD, ?B到平面GEFA B C D G EE O?E FE O H 第 12 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的距離為BD上任一 點(diǎn)到平面GEF的距離,BD ? AC于O,EF//BD, ,ACEF ?? 又GC ? 平面ABCD,EF ? 平面ABCD, ?EF ? GC,EF? 平面GEF, ?平面GEF ? 平面GCH,過(guò)O點(diǎn)作 ??OO HG,則 ??OO 平面GEF, OO? 為O到平面GCH的距離,即B到平面GEF的距離 。 ?當(dāng)時(shí) ax 32? ,時(shí), ? ? aMN 33min ? 。 又斜線 1AC 的 射 影 為 A C , B D ? AC,BDFEACBD ???? ,1 。 設(shè) 平面 DAB1 的法向量為 ),(2 zyxn ? , CB 1BOA 1DC 1zAyx第 8 頁(yè) 共 25 頁(yè) 則??????? DBn ADn 122, ∴ ??????? ?? 00122 DBn ADn, ∴ ?????????03233032329yxzx , 即 ???????xzyx3323 。 即平面 BAP 與平 面 PDC 所成的二面角的大小為 45176。 例 2. ( 03 年高考試題)如圖,直三棱柱 ABC— A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ ACB= 90?,側(cè)棱 AA1= 2, D、 E 分別是 CC1 與 A1B 的中點(diǎn),點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G。 例 2.已知正方體 ABCD- A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 2,點(diǎn) E 為棱 AB 的中點(diǎn)。 ( 4) 用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行,這時(shí)可以在一個(gè)平 面上任取一點(diǎn),將兩平面間的a b E F A B C n α 第 4 頁(yè) 共 25 頁(yè) 距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。 2.空間的距離 ( 1) 點(diǎn)到直線的距離: 點(diǎn)P到直線 a 的距離為點(diǎn)P到直線 a 的垂線段的長(zhǎng),常先找或作直線 a 所在平面的垂線,得垂足為A,過(guò)A作 a 的垂線,垂足為B連PB,則由三垂線定理可得線段PB即為點(diǎn)P到直線 a 的距離 。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線,把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。第 1 頁(yè) 共 25 頁(yè) D B A C ? 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案(講座 37) — 空間夾角和距離 一.課標(biāo)要求: 1. 能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離; 2.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。 具體步驟如下: ① 利用定義構(gòu)造角 ,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上; ② 證明作出的角即為所求的角; ③ 利用三角形來(lái)求角。 在直角三角形PAB中求出PB的長(zhǎng)即可 。 ( 5) 用法向量求二面角 如圖,有兩個(gè)平面 α與 β,分別作這兩個(gè)平面的法向量1n 與 2n ,則平面 α與 β 所成的角跟法向量 1n 與 2n 所成的角相等或互補(bǔ),所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。 求: D1E 與平面 BC1D 所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆? 解析:建立坐標(biāo)系如圖, 則 ? ?2,0,0A 、 ? ?2,2,0B , ? ?0,2,0C , ? ?1 2,0,2A , ? ?1 2,2,2B , ? ?1 0,0,2D , ? ?2,1,0E ,? ?1 2,2, 2AC ? ? ? , ? ?1 2,1, 2DE??, ? ?0,2,0AB? , ? ?1 0,0,2BB ? 。 求 A1B 與平面 ABD 所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示); 解析:如圖所示,建立坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為 C,設(shè) CA= 2a,則 A(2a, 0, 0),B(0, 2a, 0), D(0, 0, 1), A1(2a, 0, 2),E(a, a, 1), G( 2 2 1,3 3 3aa ) , ∵ ? ?2,3 3 3aaGE ? ? ? ?, ? ?0, 2 ,1BD a?? , 222 033G E B D a? ? ?, ∴ a= 1, ? ?1 1 2,3 3 3GE ? ? ? ?, ? ?1 2,2, 2AB? ? ? ∵ GE 為平面 ABD 的法向量,且1112c o s , 3A B G EA B G E A B G E??。 解法 2(補(bǔ)形化為定義法) 如圖 : 將四棱錐 PABCD 補(bǔ)形得正方體 ABCD-PQMN,則 PQ⊥ PA、 PD,于是 ∠ APD 是兩面所成二面角的平面角。 ∴ 不妨設(shè) )23,1,23(2 ?n, 由212323323||||,c os 212121 ????????nBBnBBnBB , 得 ?60, 21 ??? nBB 。 同理 CBEFCBAC 111 , ?? , EF? 為BD與 CB1 的公垂線,由于M為 1CC 的中點(diǎn), MEC? ∽ 1BEB? ,211 ??? BEMEBBMC。 例 8.如圖 2,正四棱錐 S ABCD? 的高 2SO? ,底邊長(zhǎng) 2AB? 。 241 ?? ACOH 由 解 法 一 知 : 22?GH ,由 OHO?? ∽ HCG? 得 11112, ???? OOGCOOGHOH。 解析:( 1)連結(jié) BD, DB1 ,由三垂線定理可得: ACDB ?1 ,所以 DB1 就是 1B 點(diǎn)到直線 AC 的距離。 特別注意 :空間 各種角的計(jì)算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來(lái),這里要特別注意平面角的探求 ; 2.把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,從解決平面問(wèn)題而使空間問(wèn)題得以解決。 4.注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 ( 1)常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角
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