【正文】 2．向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下，通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形第 25 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的 性質(zhì)。 b 的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量 a ， b ， 然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 。 （ 2） 解 ： W=F 評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 5（－ 21 ） =13。 (1)求 x1+y1 和 x1y1 的值； (2)求 a ， b 的大小 (其中 0＜ a ， b ＜π ) 。 a ） b a ） b =0 ② |a |－ |b ||a － b | ③（ b (2)∵ ka +b =k（ 1， 1， 0） +（ － 1， 0， 2）＝（ k－ 1， k， 2）， ka － 2b =（ k+2， k， － 4）， 且 (ka +b )⊥ （ ka － 2b ）， ∴（ k－ 1， k， 2） 例 4． 已知： ,28)1(,0423 pynmxbpnma ???????? ???????? 且 pnm ??? , 不共面 .若 a? ∥ b? ,求 yx, 的值 . 解： ?a? ∥ b? ,且 ,0 aba ??? ???? 即 .42328)1( pnmpynmx ?????? ??? ?????? 又 pnm ???? , 不共面 , .8,13,42283 1 ?????????? yxyx 點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。 例 2． 下列命題正確的是（ ） ()A 若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線； ()B 向量 ,abc共面就是它們所在的直線共面； ()C 零向量沒(méi)有確定的方向； ()D 若 //ab，則存在唯一的實(shí)數(shù) ? 使得 ab?? ； 解析： A 中向量 b 為零向量時(shí)要注意， B 中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣， D 中需保證 b 不為零向量。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是 0? 。 4． 向量與平面平行：如果表示向量 a? 的有向線段所在直線與平面 ? 平行或 a? 在 ? 平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量 a? 平行于平面 ? ，記作 a? ∥ ? 。 共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a? （ a? ≠0 ）、 b? ， a? ∥ b? 的充要條件是存在實(shí)數(shù)? 使 b? ＝ ? a? 注： ⑴ 上述定理包含兩個(gè)方面： ① 性質(zhì)定理：若 a? ∥ b? （ a? ≠0），則有 b? ＝ ? a? ， 其中 ? 是唯一確定的實(shí)數(shù)。如位移、速度、力等。而間接法中常用的第 15 頁(yè) 共 25 頁(yè) 是等積法及轉(zhuǎn)移法； ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離。 易知 1 2 1 3 2 3 0e e e e e e? ? ? ? ? ?， B A C D 1A 1B 1C 第 14 頁(yè) 共 25 頁(yè) 1 2 32 , 2 6 , 2 2 ,A P e A E e E C e? ? ? PF PA AF?? = 12PA AC? = 1 ()2PA AE EC??= 1 2 32 6 2e e e? ? ? ， 設(shè) 1 2 3n xe ye e? ? ? 是平面 ? 的一個(gè)法向量，則 ,n AE n PF??， 00n AEn PF? ????? ????，即222 2 21 2 32 6 02 6 2 0yex e y e e? ????? ? ? ??022yx????? ???， 132 .2n e e? ? ? ?直線 AE 與平面 ? 間的距 離 d? Apnn? =1 1 3221322 ( )2 23 .322e e eee???? 五．思維總結(jié) 1．這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識(shí)（特別是余弦定理）熟練解題。（ 2）求直線 1AB 到平面 BDC1 的距離。 112222221 ????? G E FS ， hhV E F GB 113211231 ????? ， 2231 ????BEFGV ， 11112??h ． 解法二． ?Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)， ?ＥＦ／／ＢＤ， ?Ｂ到平面ＧＥＦＡ Ｂ Ｃ Ｄ Ｇ ＥＥ O?Ｅ ＦＥ Ｏ Ｈ 第 12 頁(yè) 共 25 頁(yè) 的距離為ＢＤ上任一 點(diǎn)到平面ＧＥＦ的距離，ＢＤ ? ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ， ,ACEF ?? 又ＧＣ ? 平面ＡＢＣＤ，ＥＦ ? 平面ＡＢＣＤ， ?ＥＦ ? ＧＣ，ＥＦ? 平面ＧＥＦ， ?平面ＧＥＦ ? 平面ＧＣＨ，過(guò)Ｏ點(diǎn)作 ??OO ＨＧ，則 ??OO 平面ＧＥＦ， OO? 為Ｏ到平面ＧＣＨ的距離，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距離 。 ?當(dāng)時(shí) ax 32? ，時(shí)， ? ? aMN 33min ? 。 又斜線 1AC 的 射 影 為 Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ ? ＡＣ，BDFEACBD ???? ,1 。 設(shè) 平面 DAB1 的法向量為 ),(2 zyxn ? ， CB 1BOA 1DC 1zAyx第 8 頁(yè) 共 25 頁(yè) 則??????? DBn ADn 122， ∴ ??????? ?? 00122 DBn ADn， ∴ ?????????03233032329yxzx ， 即 ???????xzyx3323 。 即平面 BAP 與平 面 PDC 所成的二面角的大小為 45176。 例 2． （ 03 年高考試題）如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ ACB＝ 90?，側(cè)棱 AA1＝ 2， D、 E 分別是 CC1 與 A1B 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G。 例 2．已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 2，點(diǎn) E 為棱 AB 的中點(diǎn)。 （ 4） 用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平 面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的a b E F A B C n α 第 4 頁(yè) 共 25 頁(yè) 距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。 2．空間的距離 （ 1） 點(diǎn)到直線的距離： 點(diǎn)Ｐ到直線 a 的距離為點(diǎn)Ｐ到直線 a 的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線 a 所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過(guò)Ａ作 a 的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線 a 的距離 。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。第 1 頁(yè) 共 25 頁(yè) D B A C ? 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 37） — 空間夾角和距離 一．課標(biāo)要求： 1． 能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離； 2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。 具體步驟如下： ① 利用定義構(gòu)造角 ，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上； ② 證明作出的角即為所求的角； ③ 利用三角形來(lái)求角。 在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長(zhǎng)即可 。 （ 5） 用法向量求二面角 如圖，有兩個(gè)平面 α與 β，分別作這兩個(gè)平面的法向量1n 與 2n ，則平面 α與 β 所成的角跟法向量 1n 與 2n 所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。 求： D1E 與平面 BC1D 所成角的大小（用余弦值表示） 解析：建立坐標(biāo)系如圖， 則 ? ?2,0,0A 、 ? ?2,2,0B ， ? ?0,2,0C ， ? ?1 2,0,2A ， ? ?1 2,2,2B ， ? ?1 0,0,2D ， ? ?2,1,0E ，? ?1 2,2, 2AC ? ? ? ， ? ?1 2,1, 2DE??， ? ?0,2,0AB? ， ? ?1 0,0,2BB ? 。 求 A1B 與平面 ABD 所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示）； 解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為 C，設(shè) CA＝ 2a，則 A(2a， 0， 0)，B(0， 2a， 0)， D(0， 0， 1)， A1(2a， 0， 2)，E(a， a， 1)， G( 2 2 1,3 3 3aa ) ， ∵ ? ?2,3 3 3aaGE ? ? ? ?， ? ?0, 2 ,1BD a?? ， 222 033G E B D a? ? ?， ∴ a＝ 1， ? ?1 1 2,3 3 3GE ? ? ? ?， ? ?1 2,2, 2AB? ? ? ∵ GE 為平面 ABD 的法向量，且1112c o s , 3A B G EA B G E A B G E??。 解法 2（補(bǔ)形化為定義法） 如圖 ： 將四棱錐 PABCD 補(bǔ)形得正方體 ABCD－PQMN，則 PQ⊥ PA、 PD，于是 ∠ APD 是兩面所成二面角的平面角。 ∴ 不妨設(shè) )23,1,23(2 ?n， 由212323323||||,c os 212121 ????????nBBnBBnBB ， 得 ?60, 21 ??? nBB 。 同理 CBEFCBAC 111 , ?? ， EF? 為ＢＤ與 CB1 的公垂線，由于Ｍ為 1CC 的中點(diǎn)， MEC? ∽ 1BEB? ，211 ??? BEMEBBMC。 例 8．如圖 2，正四棱錐 S ABCD? 的高 2SO? ，底邊長(zhǎng) 2AB? 。 241 ?? ACOH 由 解 法 一 知 ： 22?GH ，由 OHO?? ∽ HCG? 得 11112, ???? OOGCOOGHOH。 解析：（ 1）連結(jié) BD， DB1 ，由三垂線定理可得： ACDB ?1 ，所以 DB1 就是 1B 點(diǎn)到直線 AC 的距離。 特別注意 :空間 各種角的計(jì)算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來(lái)，這里要特別注意平面角的探求 ； 2．把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從解決平面問(wèn)題而使空間問(wèn)題得以解決。 4．注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 （ 1）常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角