【正文】 COOOOCh33232211 ????? 。 ?當(dāng)時(shí) ax 32? ，時(shí)， ? ? aMN 33min ? 。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D O 1O M N Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D E 第 11 頁 共 25 頁 令向量 ( , ,1)n x y? ，且 ,n DB n CS??， 則 00n DBn CS? ???? ????， ( , ,1 ) ( 2 , 2 , 0) 022( , ,1 ) ( , , 2) 022xyxy? ???? ? ? ? ???， 02 2 0xyxy????? ? ? ???， 22xy? ????? ???， ( 2, 2,1)n? ? ? 。 112222221 ????? G E FS ， hhV E F GB 113211231 ????? ， 2231 ????BEFGV ， 11112??h ． 解法二． ?Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)， ?ＥＦ／／ＢＤ， ?Ｂ到平面ＧＥＦＡ Ｂ Ｃ Ｄ Ｇ ＥＥ O?Ｅ ＦＥ Ｏ Ｈ 第 12 頁 共 25 頁 的距離為ＢＤ上任一 點(diǎn)到平面ＧＥＦ的距離，ＢＤ ? ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ， ,ACEF ?? 又ＧＣ ? 平面ＡＢＣＤ，ＥＦ ? 平面ＡＢＣＤ， ?ＥＦ ? ＧＣ，ＥＦ? 平面ＧＥＦ， ?平面ＧＥＦ ? 平面ＧＣＨ，過Ｏ點(diǎn)作 ??OO ＨＧ，則 ??OO 平面ＧＥＦ， OO? 為Ｏ到平面ＧＣＨ的距離，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距離 。（寫出所有正確結(jié)論的 編號(hào) ． ． ） 解析：（ 1） 如圖， B、 D、 A1到平面 ? 的距離分別為 4，則 D、 A1的中點(diǎn)到平面? 的距離為 3，所以 D1到平面 ? 的距離為 6； B、 A1的中點(diǎn)到平面 ? 的距離為 52 ，所以B1到平面 ? 的距離為 5；則 D、 B 的中點(diǎn)到平面 ? 的距離為 32，所以 C 到平面 ? 的距離為 3； C、 A1的中點(diǎn)到平面? 的距離為 72 ，所以 C1到平面 ? 的距離為 7；而 P為 C、C B D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。（ 2）求直線 1AB 到平面 BDC1 的距離。 B D CCB D CC VV ?? ? 11? ， 13131 1 CCShS B D CB D C ?? ?? ， 131312??h 所以，直 線 1AB到平面 BD 1C 的距離是 131312 。 易知 1 2 1 3 2 3 0e e e e e e? ? ? ? ? ?， B A C D 1A 1B 1C 第 14 頁 共 25 頁 1 2 32 , 2 6 , 2 2 ,A P e A E e E C e? ? ? PF PA AF?? = 12PA AC? = 1 ()2PA AE EC??= 1 2 32 6 2e e e? ? ? ， 設(shè) 1 2 3n xe ye e? ? ? 是平面 ? 的一個(gè)法向量，則 ,n AE n PF??， 00n AEn PF? ????? ????，即222 2 21 2 32 6 02 6 2 0yex e y e e? ????? ? ? ??022yx????? ???， 132 .2n e e? ? ? ?直線 AE 與平面 ? 間的距 離 d? Apnn? =1 1 3221322 ( )2 23 .322e e eee???? 五．思維總結(jié) 1．這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識(shí)（特別是余弦定理）熟練解題。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理 即可找到面的垂線；作棱的垂面。而間接法中常用的第 15 頁 共 25 頁 是等積法及轉(zhuǎn)移法； ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離。 二．命題走向 本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。如位移、速度、力等。 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 baABOAOB ?? ???? baOBOABA ?? ???? )( RaOP ?? ??? 加法交換率： .abba ???? ??? 加法結(jié)合率： ).()( cbacba ?????? ????? 數(shù)乘分配率： .)( baba ???? ??? ??? 說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。 共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a? （ a? ≠0 ）、 b? ， a? ∥ b? 的充要條件是存在實(shí)數(shù)? 使 b? ＝ ? a? 注： ⑴ 上述定理包含兩個(gè)方面： ① 性質(zhì)定理：若 a? ∥ b? （ a? ≠0），則有 b? ＝ ? a? ， 其中 ? 是唯一確定的實(shí)數(shù)。 推論：如果 l 為經(jīng)過已知點(diǎn) A 且平行于已知非零向量 a? 的直線，那么對(duì)任一點(diǎn) O，點(diǎn) P 在直線 l 上的充要條件是存在實(shí)數(shù) t，滿足等式 OAOP? at?? ① 其中向量 a? 叫做直線 l 的 方向向量。 4． 向量與平面平行：如果表示向量 a? 的有向線段所在直線與平面 ? 平行或 a? 在 ? 平面內(nèi)，我們就說向量 a? 平行于平面 ? ，記作 a? ∥ ? 。 推論 ： 空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x、 y，使 ,MByMAxMP ?? ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有 .MByMAxOMOP ??? ⑤ 在平面 MAB 內(nèi)，點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（ x, y）是唯一的。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是 0? 。 ⑴ ( ) ( )a b a b??? ? ? ⑵ a? ⊥ b? ? ba??? =0 ⑵ ba??? =ba? ⑶ 2| | .a a a?? ⑶ ()a b c a b a c? ? ? ? ? ? 四．典例解析 題型 1：空間向量的概念及性質(zhì) 例 1． 有以下命題：①如果向量 ,ab與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么,ab的關(guān)系是不共線；② ,O ABC 為空間四點(diǎn)，且向量 ,OAOBOC 不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn) ,O ABC 一定共面；③已知向量 ,abc是空間的一個(gè)基底，則向量,a b a b c??，也是空間的一個(gè)基底。 例 2． 下列命題正確的是（ ） ()A 若 a 與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線； ()B 向量 ,abc共面就是它們所在的直線共面； ()C 零向量沒有確定的方向； ()D 若 //ab，則存在唯一的實(shí)數(shù) ? 使得 ab?? ； 解析： A 中向量 b 為零向量時(shí)要注意， B 中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣， D 中需保證 b 不為零向量。 題型 2：空間向量的基本運(yùn)算 例 3． 如圖：在平行六面體 1111 DCBAABCD ? 中，M 為 11CA 與 11DB 的交點(diǎn)。 例 4． 已知： ,28)1(,0423 pynmxbpnma ???????? ???????? 且 pnm ??? , 不共面 .若 a? ∥ b? ,求 yx, 的值 . 解： ?a? ∥ b? ,且 ,0 aba ??? ???? 即 .42328)1( pnmpynmx ?????? ??? ?????? 又 pnm ???? , 不共面 , .8,13,42283 1 ?????????? yxyx 點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。 b3 +a2b2+a3b3=0 k，使 a =kb （ 2） 已知向量 a =（ 2， 4， x）， b =（ 2， y， 2）， 若 |a |=6， a ⊥ b ， 則 x+y 的值是（ ） A. － 3 或 1 或 － 1 C. － 3 （ 3） 下列各組向量共面的是 （ ） A. a =(1， 2， 3)， b =(3， 0， 2)， c =(4， 2， 5) B. a =(1， 0， 0)， b =(0， 1， 0)， c =(0， 0， 1) C. a =(1， 1， 0)， b =(1， 0， 1)， c =(0， 1， 1) D. a =(1， 1， 1)， b =(1， 1， 0)， c =(1， 0， 1) 第 21 頁 共 25 頁 解析：（ 1） D； 點(diǎn)撥：由共線向量定線易知 ； （ 2） A 點(diǎn)撥：由題知 ????? ??? ??? 0244 36164 2xy x? ??? ??? 3,4yx 或 ??? ???.1,4yx ； （ 3） A 點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得 。 (2)∵ ka +b =k（ 1， 1， 0） +（ － 1， 0， 2）＝（ k－ 1， k， 2）， ka － 2b =（ k+2， k， － 4）， 且 (ka +b )⊥ （ ka － 2b ）， ∴（ k－ 1， k， 2） （ a +b ） (ka － 2b )=k2a 2－ ka a ） b =0 ② |a |－ |b ||a － b | ③（ b a ） b ］ a ） b b =9|a |2－ 4|b |2 成立 .故④真 . 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。 (1)求 x1+y1 和 x1y1 的值； (2)求 a ， b 的大小 (其中 0＜ a ， b ＜π ) 。 |b | 5（－ 21 ） =13。 另外 x21 +y21 =(x1+y1)22x1y1=1， ∴ 2x1y1=( 26 )2－ 1=21 .∴ x1y1=41 。 評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。 n ≤ |m | （ 2） 解 ： W=F n ≤ |m | b 的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量 a ， b ， 然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 。 如向量的數(shù)量積a 2．向量在空間中的應(yīng)用 在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形第 25 頁 共 25 頁 的 性質(zhì)。