【正文】 向量 a? 、 b? 共面的充要條件是存在實數(shù)對 x、 y，使 .byaxp ??? ?? ① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。 5．空間向量基本定理：如果三個向量 a? 、 b? 、 c? 不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z, 使 .czbyaxp ???? ??? 說明：⑴由上述定理知，如果三個向量 a? 、 b? 、 c? 不共面，那 么所有空間向量所組成的集合就是 ? ?Rzyxczbyaxpp ???? 、,| ????? ，這個集合可看作由向量 a? 、 b? 、 c? 生成的，所以我們把 {a? ， b? ， c? }叫做空間的一個基底， a? ， b? ， c? 都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底； ⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念； ⑷由于 0? 可視為與任意非零向量共線。 即 ba??? = ?? baba ???? ,cos ， 向量 AB 方向上的正射影在 e? : BAeaABea ??????? ???? ,c o s|| （ 4）性質(zhì)與運算率 A a? B a? O a? （ 4） A a? B a? O a? （ 3） A B A? B? e? l a? a? b? a? a? a? b? a? A a? B a? O a? （ 1） O a? a? a? b? a? a? a? b? a? A a? B a? （ 2）第 19 頁 共 25 頁 ⑴ ???? eaea ???? ,cos。 點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。像 零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧。 用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法 .考查學(xué)生的空間想象能力。 b2=a3 設(shè) a =AB ，b = AC ，（ 1）求 a 和 b 的夾角 ? ；（ 2）若向量 ka +b 與 ka － 2b 互相垂直，求 k 的 值 . 思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果 . 解：∵ A(－ 2， 0， 2)， B（ － 1， 1， 2）， C(－ 3， 0， 4)， a =AB ， b =AC ， ∴ a =(1， 1， 0)， b =（ － 1， 0， 2） . (1)cos? =|||| ba ba?= 52 001 ???? ? － 1010 ， ∴ a 和 b 的夾角為－ 1010 。 點撥：第（ 2）問在解答時也可以按運算律做 。 b ） c －（ c c ） a －（ c c －（ c a － 4b a =_____. （ 2） 設(shè)空間兩個不同的單位向量 a =(x1， y1， 0)， b =(x2， y2， 0)與向量 c =(1， 1，1)的夾角都等于 4? 。 a =2|a |2－ |a | 4－ 2 c =x1+y1，∴ x1+y1= 26 。 4 26? =41 +41 =21 . ∵ 0≤a ， b ≤π， ∴ a ， b =3? 。 解析：（ 1） 設(shè) m =( 113?a ， 113?b ， 113?c )， n =(1， 1， 1)， 則 |m |=4， |n |= 3 . ∵ m |n |=4 3 . 當(dāng) 1131?a = 1131?b = 1131?c 時，即 a=b=c=31 時，取 “ =”號 。 點評 ： 若 m =(x， y， z)， n =(a， b， c)，則由 m |b |≥ a 五．思維總結(jié) 本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點公式 .空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點 O和一個單位正交基底｛ i， j， k｝建立坐標(biāo)系，對于 O 點的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運算同平面向量類似，具有類似的運算法則 .一個向量在不同空間的表達方式不一樣，實質(zhì)沒有改變 .因而運算的方 法和運算規(guī)律結(jié)論沒變 。 對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類： 1．以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì) 此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。 在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。 b=|a| 空間向量的數(shù)量積對應(yīng)做功問題。|n |，得 (ax+by+cz)2≤第 24 頁 共 25 頁 (a2+b2+c 2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式 (n=3)。s=(F1+F2+F3)|n |， ∴ m 題型 5：空間向量的應(yīng)用 例 9．（ 1） 已知 a、 b、 c 為正數(shù)，且 a+b+c=1，求證： 113?a + 113?b + 113?c ≤4 3 。 第 23 頁 共 25 頁 (2)cosa ， b =|||| ba ba?=x1x2+y1y2， 由 (1)知 ， x1+y1= 26 ， x1y1=41 .∴ x1， y1 是方程x2－ 26 x+ 41 =0 的解 . ∴ ???????????,4 26,4 2611yx或 ???????????.4 26,4 2611yx同理可得 ???????????,4 26,4 2622yx或 ???????????.4 26,4 2622yx ∵ a ≠b ， ∴ ?????????????,4 26,4 261221yxyx或 ?????????????.4 26,4 261221yxyx ∴ cosa ， b = 4 26? （ 2） 解 ： (1)∵ |a |=|b |=1， ∴ x21 +y21 =1， ∴ x22 =y22 =1. 又∵ a 與 c 的夾角為 4? ， ∴ a cos120176。 解析：（ 1）答案： 13；解析：∵（ 2a － b ） 例 8．（ 1）（ 20xx 上海文，理 2）已知向量 a 和 b 的夾角為 120176。 c =0，所以垂直 .故③假； ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9 c =（ b c ） a －（ c b －2b 2=2k2+k－ 10=0， 解得 k=－ 25 ， 或 k=2。（ k+2， k， － 4） =(k－ 1)(k+2)+k2－ 8=2k2+k－ 10=0。 點評：空間向量的坐標(biāo)運算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。 題型 3：空間向量的坐標(biāo) 例 5．（ 1） 已知兩個非零向量 a =（ a1， a2， a3）， b =（ b1， b2， b3）， 它們平行的充要條件是 （ ） A. a ： |a |=b ： |b | 若 AB a? ， AD b? ，1AA c? ，則下列向量中與 BM 相等的向量是（ ） M C1CB1D1A1A BD第 20 頁 共 25 頁 ()A 1122a b c? ? ? ()B 1122a b c?? ()C 1122a b c? ? ? ()D cba ?? 2121 解析：顯然 ??????111 )(21 AAABADMBBBBM 1122a b c? ? ?； 答案為 A。 答案 C。其中正確的命題是（ ） ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 解析：對于 ①“如果向量 ,ab與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 ,ab的關(guān)系一定共線”；所以①錯誤。 推論：設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的有序?qū)嵉? 18 頁 共 25 頁 數(shù)組 zyx 、 ，使 .OCzOByOAxOP ??? 6．?dāng)?shù)量積 （ 1）夾角：已知兩個非零向量 a? 、 b? ，在空間任取一點 O， 作 aOA ?? ， bOB ?? ，則角∠ AOB 叫做向量 a? 與 b? 的夾角，記作 ?? ba ??， 說明：⑴規(guī)定 0≤ ?? ba ??， ≤ ? ,因而 ?? ba ??， = ?? ab ??， ； ⑵如果 ?? ba ??， =2?，則稱 a? 與 b? 互相垂直，記作 a? ⊥ b? ； ⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖 （ 3）、 （ 4）中的兩個向量的夾角 不同， 圖（ 3）中 ∠ AOB= ?? OBOA, ， 圖（ 4）中 ∠ AOB= ?? ?? OBAO, , 從而有 ??? OBOA, = ??? OBOA, = ?? ?? OBOA, . （ 2）向量的模： 表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。 ① 式叫做平面 MAB 的向量表示式。注意：向量 a? ∥ ? 與直線 a∥ ? 的聯(lián)系與區(qū)別。 在 l 上取 aAB ?? ，則 ① 式可化為 .)1( OBtOAtOP ??? ② 當(dāng)21?t時，點 P 是線段 AB 的中點，則 ).(21 OBOAOP ?? ③ 第 17 頁 共 25 頁 ① 或 ② 叫做 空間直線的向量參數(shù)表示式 ， ③ 是線段 AB 的 中點公式 。 ② 判斷定理：若存在唯一實數(shù) ? ， 使 b? ＝ ? a?（ a? ≠0），則有 a? ∥ b?（若用此結(jié)論判斷 a? 、 b? 所在直線平行，還需 a? （或 b? ）上有一點不在 b? （或 a? ）上）。 3． 平行向量 (共線向量 )：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做 共線向量 或 平行向量。 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式 為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。 4．注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運用 （ 1）常用等角定理或平行移