高三數(shù)學(xué)平面和空間直線(文件)
【正文】 (2)要重視改變視角的畫圖訓(xùn)練，能正確判定空間圖形位置、形狀及存在的數(shù)量關(guān)系，尋找解題思路或途徑． ? 4．異面直線 ? (1)證明兩直線是異面直線的常用方法是“判定定理法”和“反證法”，其中“反證法”最常用． ? (2)求異面直線所成的角，常用平移法和向量法．當(dāng)用平移法轉(zhuǎn)化繁瑣或無法平移時(shí)，可考慮兩直線是否垂直． ? 為便于計(jì)算，常用下列平移技巧： ? ①利用公理 4平移； ? ②利用平行四邊形平移； ? ③利用中位線或成比例線段平移． (3 ) 求異面直線的距離關(guān)鍵是找出公垂線段，在三角形中解決． (4 ) 注意兩異面直線所成角的范圍是 (0 ，π2] ，平移得到的角是兩異面直線所成的角 ( 或其補(bǔ)角 ) ． 課時(shí)提能精練 點(diǎn)擊進(jìn)入鏈接 。 角，故 D 對(duì)．故選 C. 【答案】 C 3 ． (2 009 年全國 Ⅰ ) 已知三棱柱 ABC — A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等， A1在底面 ABC 上的射影為 BC 的中點(diǎn)，則異面直線 AB 與 CC1所成的角的余弦值為 ( ) A.34 B.54 C.74 D.34 【解析】 如圖， D 為 BC 的中點(diǎn) ， 則 由 題 意 得 ∠ A1AD = ∠BAD =30 176。 ＜θ≤90176。 ， BC綊12AD ， BE 綊12FA ， G 、 H 分別為 FA 、 FD 的中點(diǎn)． (1 ) 證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形； (2 ) C 、 D 、 F 、 E 四點(diǎn)是否共面？為什么？ 【思路點(diǎn)撥】 (1 ) G 、 H 為中點(diǎn) → GH 綊12AD ，又 BC 綊12AD → GH 綊 BC (2 ) 方法一 證明 D 點(diǎn)在 EF 、 CH 確定的平面內(nèi)． 方法二 延長 FE 、 DC 分別與 AB 交于 M ， M ′，可證 M 與 M ′重合，從而 FE 與 DC 相交． 【證明】 (1 ) 由已知 FG ＝ GA ， FH ＝ HD ， 可得 GH 綊12AD . 又 BC 綊12AD ， ∴ GH 綊 BC ， ∴ 四邊形 BCHG 為平行四邊形． (2) 由 BE 綊12AF ， G 為 FA 中點(diǎn)知， BE 綊 FG ， ∴ 四邊形 BEFG 為平行四邊形， ∴ EF ∥ BG . 由 (1) 知 BG ∥ CH ， ∴ EF ∥ CH ， ∴ EF 與 CH 共面． 又 D ∈ FH ， ∴ C 、 D 、 F 、 E 四點(diǎn)共面． ? 所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題． ? 證明點(diǎn)線共面的常用方法 ? (1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)． ? (2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面 α，再證明其余元素確定平面 β，最后證明平面 α、 β重合． ? (3)反證法：可以假設(shè)這些點(diǎn)和直線不在同一個(gè)平面內(nèi)，然后通過推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 2 ．在正方體 AC 1 中， E 、 F 分別為 D 1 C 1 、 B 1 C 1 的中點(diǎn)，AC ∩ BD ＝ P ， A 1 C 1 ∩ EF ＝ Q . (1 ) 求證： D 、 B 、 F 、 E 四點(diǎn)共面； (2 ) 作 出 直 線 A 1 C 與平面BDEF 的交點(diǎn) R 的位置． 【解析】 (1 ) 證明： ∵ E 、 F 分別是 C1D1和 B1C1的中點(diǎn)， ∴ EF ∥ B1D1， 又 ∵ B1D1∥ BD ， ∴ EF ∥ BD ， ∴ EF 、BD 共面． 故 D 、 B 、 F 、 E 四點(diǎn)共面 ( 設(shè)為 α ) ． (2) 由于 AA1∥ CC1，所以 A A 、 C 、 C1四點(diǎn)共面 ( 設(shè)為 β ) ． P ∈ BD ，而 BD ? α ，故 P ∈ α . 又 P ∈ AC ，而AC ? β ， 所以 P ∈ β ，同理 Q ∈ α ， Q ∈ β ， ∴ α ∩ β ＝ PQ .又因?yàn)?A1C ? β ， 所以 A1C 與平面 α 的交點(diǎn)就是 A1C 與 PQ 的交點(diǎn)．
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