【正文】 動直線及平面的方法轉化所求角的位置； （ 2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉化所求距離的位置； （ 3）常用割補法或等積（等面積或等體積）變換解決有關距離及體積問題。 作二面角的平面角應把握先找后作的原則。 特別注意 :空間 各種角的計算都要轉化為同一平面上來，這里要特別注意平面角的探求 ； 2．把空間問題轉化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決。 思維點拔：求空間距離多用轉化的思想。 解析：（ 1）連結 BD， DB1 ，由三垂線定理可得： ACDB ?1 ，所以 DB1 就是 1B 點到直線 AC 的距離。 （ 2）如圖， B、 D 到平面 ? 的距離為 2，則 D、 B的中點到平面 ? 的距離為 32，所以 C 到平面 ? 的距離為3； B、 C 到平面 ? 的距離為 2， D 到平面 ? 的距離為 x ，則 1 2 2 1xx? ? ? ?或 ，即1x? ，所以 D 到平面 ? 的距離為 1； C、 D 到平面 ? 的距離為 2，同理可得 B 到平面 ? 的距離為 1；所以選①③。 241 ?? ACOH 由 解 法 一 知 ： 22?GH ，由 OHO?? ∽ HCG? 得 11112, ???? OOGCOOGHOH。 ?異面直線 BD 和 SC 之間的距離為： OC ndn??22( , , 0) ( 2 , 2 ,1 )22( 2 , 2 ,1 )? ? ?? ? 2 2 21 1 0 255( 2 ) ( 2 ) 1????? ? ?。 例 8．如圖 2，正四棱錐 S ABCD? 的高 2SO? ，底邊長 2AB? 。 解法五。 同理 CBEFCBAC 111 , ?? ， EF? 為ＢＤ與 CB1 的公垂線，由于Ｍ為 1CC 的中點， MEC? ∽ 1BEB? ，211 ??? BEMEBBMC。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取 “相等角 ”或取 “補角 ”。 ∴ 不妨設 )23,1,23(2 ?n， 由212323323||||,c os 212121 ????????nBBnBBnBB ， 得 ?60, 21 ??? nBB 。求二面角 BADB ??1 的大小。 解法 2（補形化為定義法） 如圖 ： 將四棱錐 PABCD 補形得正方體 ABCD－PQMN，則 PQ⊥ PA、 PD，于是 ∠ APD 是兩面所成二面角的平面角。 （ 1）求平面 PDE 與平面 PAB 所成二面角的大小（用正切值表示） ； （ 2）求平面 PBA與平面 PDC 所成二面角的大小。 求 A1B 與平面 ABD 所成角的大小（結果用余弦值表示）； 解析：如圖所示，建立坐標系，坐標原點為 C，設 CA＝ 2a，則 A(2a， 0， 0)，B(0， 2a， 0)， D(0， 0， 1)， A1(2a， 0， 2)，E(a， a， 1)， G( 2 2 1,3 3 3aa ) ， ∵ ? ?2,3 3 3aaGE ? ? ? ?， ? ?0, 2 ,1BD a?? ， 222 033G E B D a? ? ?， ∴ a＝ 1， ? ?1 1 2,3 3 3GE ? ? ? ?， ? ?1 2,2, 2AB? ? ? ∵ GE 為平面 ABD 的法向量，且1112c o s , 3A B G EA B G E A B G E??。 題型 2：直線與平面所成的角 例 3． PA、 PB、 PC 是從 P 點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為 060 ，那么直線 PC 與平面 PAB 所成角的余弦值是（ ） A. 21 B. 22 C. 33 D. 36 解：構造正方體如圖所示，過點 C 作 CO⊥ 平面 PAB，垂足為 O，則 O 為正 ΔABP 的中心，于是 ∠ CPO 為 PC 與平面 PAB 所成的角。 求： D1E 與平面 BC1D 所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆? 解析：建立坐標系如圖， 則 ? ?2,0,0A 、 ? ?2,2,0B ， ? ?0,2,0C ， ? ?1 2,0,2A ， ? ?1 2,2,2B ， ? ?1 0,0,2D ， ? ?2,1,0E ，? ?1 2,2, 2AC ? ? ? ， ? ?1 2,1, 2DE??， ? ?0,2,0AB? ， ? ?1 0,0,2BB ? 。故選 A。 （ 5） 用法向量求二面角 如圖，有兩個平面 α與 β，分別作這兩個平面的法向量1n 與 2n ，則平面 α與 β 所成的角跟法向量 1n 與 2n 所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。 以上所說的所有距離：點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是對應圖形上兩點間的最短距離。 在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可 。 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若 θ 為線面角， α為斜線與平面內任何一條直線 所成的角，則有 ??? ； （ 3） 確定點的射影位置有以下幾種方法： ① 斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ② 如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射第 2 頁 共 25 頁 影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上； ③ 兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； ④ 利用某些特殊三棱錐的有關性質，確定頂點在底面上的射影的位置： 底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內心 (或旁心 )； c. 如果側棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （ 4） 二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指 ],0( ? ，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。 具體步驟如下： ① 利用定義構造角 ，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上； ② 證明作出的角即為所求的角； ③ 利用三角形來求角。 題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。第 1 頁 共 25 頁 D B A C ? 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 高三新 數(shù)學 第一輪復習教案（講座 37） — 空間夾角和距離 一．課標要求： 1． 能借助空間幾何體內的位置關系求空間的夾角和距離； 2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。課本淡化了利用 空間關系找角、求距離這方面內容的講解，而是加大了向量在這方面內容應用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關夾角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解決。 具體步驟如下： ① 找過斜線上一點與平面垂直的直線； ② 連結垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③ 把該角置于三角形中計算。 2．空間的距離 （ 1） 點到直線的距離： 點Ｐ到直線 a 的距離為點Ｐ到直線 a 的垂線段的長，常先找或作直線 a 所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作 a 的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線 a 的距離 。 （ 4）平面與平面間的距離：只 存在于兩個平行平面之間．為一個平面上任意一點到另一個平面的距離 。 （ 4） 用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平 面上任取一點，將兩平面間的a b E F A B C n α 第 4 頁 共 25 頁 距離問題轉化成點到平面的距離問題。由余弦定理可求得 1030cos1 ?? AEF。 例 2．已知正方體 ABCD－ A1B1C1D1 的棱長為 2，點 E 為棱 AB 的中點。 點評：將異面直線間的夾角轉化為空間向量的夾角。 例 2． （ 03 年高考試題）如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ ACB＝ 90?，側棱 AA1＝ 2， D、 E 分別是 CC1 與 A1B 的中點，點 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G。 題型 3：二面角 例 5． 在四棱錐 P－ ABCD 中， ABCD 為正方形，PA⊥ 平面 ABCD， PA＝ AB＝ a， E 為 BC 中點。 即平面 BAP 與平 面 PDC 所成的二面角的大小為 45176。 例 6． （ 1） （ 20xx 年，北京卷高考題）如圖 6，正三棱柱111 CBAABC ? 的底面邊長為 3，側棱 3231 ?AA ， D 是 CB延長線上一點，且 BCBD? 。 設 平面 DAB1 的法向量為 ),(2 zyxn ? ， CB 1BOA 1DC 1zAyx第 8 頁 共 25 頁 則??????? DBn ADn 122， ∴ ??????? ?? 00122 DBn ADn， ∴ ?????????03233032329yxzx ， 即 ???????xzyx3323 。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。 又斜線 1AC 的 射 影 為 Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ ? ＡＣ，BDFEACBD ???? ,1 。 同理可知： 1C 到平面 CDB 11 的距離為 a33 ，而 aCA 31 ? ，故兩平面間距離為Ｍ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1A 1B 1C 1D Ｆ Ｅ 第 10 頁 共 25 頁 A B C D O S x y z 圖 2 a33 ． 解法四．（垂面法）如圖，ＢＤ／／平面 CDB 11 ，1111111 , OODBCADB ?? ， ?11B 平面 CCOO11 ，平面 CCOO11 ? 平面 CDB 11 ＝ CO1 ， 111 DBO ? ，故 O到平面 CDB 11 的距離為 OCORt 1? 斜 邊 上 的 高aaaa