【正文】 的位置； （ 2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （ 3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問(wèn)題。 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 ② 判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù) ? ， 使 b? ＝ ? a?（ a? ≠0），則有 a? ∥ b?（若用此結(jié)論判斷 a? 、 b? 所在直線平行，還需 a? （或 b? ）上有一點(diǎn)不在 b? （或 a? ）上）。注意：向量 a? ∥ ? 與直線 a∥ ? 的聯(lián)系與區(qū)別。 推論：設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的有序?qū)嵉? 18 頁(yè) 共 25 頁(yè) 數(shù)組 zyx 、 ，使 .OCzOByOAxOP ??? 6．?dāng)?shù)量積 （ 1）夾角：已知兩個(gè)非零向量 a? 、 b? ，在空間任取一點(diǎn) O， 作 aOA ?? ， bOB ?? ，則角∠ AOB 叫做向量 a? 與 b? 的夾角，記作 ?? ba ??， 說(shuō)明：⑴規(guī)定 0≤ ?? ba ??， ≤ ? ,因而 ?? ba ??， = ?? ab ??， ； ⑵如果 ?? ba ??， =2?，則稱 a? 與 b? 互相垂直，記作 a? ⊥ b? ； ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖 （ 3）、 （ 4）中的兩個(gè)向量的夾角 不同， 圖（ 3）中 ∠ AOB= ?? OBOA, ， 圖（ 4）中 ∠ AOB= ?? ?? OBAO, , 從而有 ??? OBOA, = ??? OBOA, = ?? ?? OBOA, . （ 2）向量的模： 表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。 答案 C。 題型 3：空間向量的坐標(biāo) 例 5．（ 1） 已知兩個(gè)非零向量 a =（ a1， a2， a3）， b =（ b1， b2， b3）， 它們平行的充要條件是 （ ） A. a ： |a |=b ： |b | （ k+2， k， － 4） =(k－ 1)(k+2)+k2－ 8=2k2+k－ 10=0。 c ） a －（ c c =0，所以垂直 .故③假； ④（ 3a +2b ）（ 3a － 2b ） =9 解析：（ 1）答案： 13；解析：∵（ 2a － b ） （ 2） 解 ： (1)∵ |a |=|b |=1， ∴ x21 +y21 =1， ∴ x22 =y22 =1. 又∵ a 與 c 的夾角為 4? ， ∴ a 題型 5：空間向量的應(yīng)用 例 9．（ 1） 已知 a、 b、 c 為正數(shù)，且 a+b+c=1，求證： 113?a + 113?b + 113?c ≤4 3 。s=(F1+F2+F3) 空間向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題。 在復(fù)習(xí)過(guò)程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。 對(duì)本講內(nèi)容的考查主要分以下三類： 1．以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì) 此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題。 |b |≥ a |n |=4 3 . 當(dāng) 1131?a = 1131?b = 1131?c 時(shí)，即 a=b=c=31 時(shí)，取 “ =”號(hào) 。 4 26? =41 +41 =21 . ∵ 0≤a ， b ≤π， ∴ a ， b =3? 。 4－ 2 a =_____. （ 2） 設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量 a =(x1， y1， 0)， b =(x2， y2， 0)與向量 c =(1， 1，1)的夾角都等于 4? 。 c －（ c b ） c －（ c 設(shè) a =AB ，b = AC ，（ 1）求 a 和 b 的夾角 ? ；（ 2）若向量 ka +b 與 ka － 2b 互相垂直，求 k 的 值 . 思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果 . 解：∵ A(－ 2， 0， 2)， B（ － 1， 1， 2）， C(－ 3， 0， 4)， a =AB ， b =AC ， ∴ a =(1， 1， 0)， b =（ － 1， 0， 2） . (1)cos? =|||| ba ba?= 52 001 ???? ? － 1010 ， ∴ a 和 b 的夾角為－ 1010 。 用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法 .考查學(xué)生的空間想象能力。 點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。 5．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 a? 、 b? 、 c? 不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z, 使 .czbyaxp ???? ??? 說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量 a? 、 b? 、 c? 不共面，那 么所有空間向量所組成的集合就是 ? ?Rzyxczbyaxpp ???? 、,| ????? ，這個(gè)集合可看作由向量 a? 、 b? 、 c? 生成的，所以我們把 {a? ， b? ， c? }叫做空間的一個(gè)基底， a? ， b? ， c? 都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底； ⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念； ⑷由于 0? 可視為與任意非零向量共線。 ⑶ 結(jié)合三角形法則記憶方程。 注意 ：當(dāng)我們說(shuō) a? 、 b? 共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō) a? 、 b? 平行時(shí)，也具有同樣的意義。 三．要點(diǎn)精講 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)常考慮面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。 求 AE 與平面 ? 間的距離？ 分析：設(shè) AP 、 AE 、 EC 的單位向量分別為 1e 、 2e 、3e ，選取 { 1e ， 2e ， 3e }作為空間向量的一組基底。（ 1）求點(diǎn) 1B 到直線 AC 的距離。 解 法 一 ： 連 結(jié) Ｂ Ｆ ， Ｂ Ｇ ，2222121 ??????? FABES B E F ， 又Ｅ，Ｆ分別是 ＡＢ，Ａ Ｄ的中點(diǎn)，,43,2221 ACCHBDEF ???? 2222 24432 ??????????? CHGCGH 22?。 設(shè) BE=x ， CE=ME= xa? ， EN= x22， MN== ? ?2221 xax ??= 22 223 aaxx ??=3232322 aax ??????? ?。 題型 4：異面直線間的距離 例 7． 如圖，已知正方體ＡＢＣＤ－ 1A 1B 1C1D棱長(zhǎng)為 a ， 第 9 頁(yè) 共 25 頁(yè) 求異面直線ＢＤ與 1B Ｃ的距離． 解法一：連結(jié)ＡＣ交ＢＤ的中點(diǎn)Ｏ，取 1CC 的中點(diǎn)Ｍ，連結(jié)ＢＭ交 CB1 于Ｅ，連 1AC ，則 1// ACOM ，過(guò)Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，則 1//ACEF 。 由題意 ： 平面 ?ABC 平面 11BBCC ， BCAO? ， ∴ ?AO 平面 11BBCC ， 以 O 為原點(diǎn)， 建立如圖 6 所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ）（ 323,0,0A， ）（ 0,0,23B， ）（ 0,0,29D， ）（ 0,323,231B， ∴ ）（ 323,0,29 ??AD， ）（ 0,323,31 ??DB， ）（ 0,323,01 ?BB， 由題意 ?1BB 平面 ABD ， ∴ ）（ 0,323,01 ?BB 為 平面 ABD 的法向量。易得25tan ??AOD，故平面 PDE 與平 PAD 所成二面角的 正切值 為25； （ 2）解法 1（面積法）如圖 ∵ AD⊥ PA、 AB, PA∩AB=A， ∴ DA⊥ 平面 BPA 于 A, 同時(shí)， BC⊥ 平面 BPA 于 B， ∴△ PBA是 △ PCD 在平面 PBA上的射影 , 設(shè)平面 PBA與平面 PDC 所成二面角大小為 θ, cosθ=S△ PAB/S△ PCD= /2 θ=450。 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 第 6 頁(yè) 共 25 頁(yè) E F O 思維點(diǎn)撥：第（ 2）題也可利用公式 ??? co sco sco s ?? 直接求得。 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。 3．空間向量的應(yīng)用 （ 1） 用法向量求異面直線間的距離 如右圖所示， a、 b 是兩異面直線， n 是 a 和 b 的法向量，點(diǎn) E∈ a， F∈ b，則異面直線 a 與 b 之間的距離是nnEFd ?? ； （ 2） 用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示，已知 AB 是平面α的 一條斜線， n 為平面α的法向量，則 A 到平面α的距離為nnABd ?? ； （ 3） 用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。 斜面面積和射影面積的關(guān)系公式： ?cos??? SS (S 為原斜面面積 ,S? 為射影面積 ,?為斜面與射影所成二面角的平面角 )這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形 ,任意多邊形都成立 .是求二面角的好方法 .當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí) ,如果能找得斜面面積的射影面積 ,可直接應(yīng)用公式 ,求出二面角的大小 。 （ 1） 異面直線所成的角的范圍是 ]2,0( ?。 二．命題走向 空間的夾角和距離問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：（ 1）空間的夾角；（ 2）空間的距離；（ 3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。 （ 2） 直線與平面所成的角的范圍是 ]2,0[ ?。 點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面 ? 的距離為點(diǎn)Ｐ到平面 ? 的垂線段的長(zhǎng)．常用求法 ①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng) ； ② 轉(zhuǎn)移法，如果平面 ? 的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ第 3 頁(yè) 共 25 頁(yè) 到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為 nm: ，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面 ? 的距離之比也為 nm: ．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面 ? 的距離相等 ； ③ 體積法 （ 2） 異面直線間的距離： 異面直線 ba, 間的距離為 ba, 間的公垂線段的長(zhǎng)．常有求法 ① 先證線段ＡＢ為異面直線 ba, 的公垂線段，然后求出ＡＢ的長(zhǎng)即可 ． ② 找或作出過(guò) b且與 a 平行的平面，則直線 a 到平面的距離就是異面直線 ba, 間的距離． ③ 找或作出分別