整環(huán)里的因子分解(更新版)
【正文】 ，不然的話 cacaab ??? ???? 1, c 是單位，與 假定不合。但a是不可約元，故b只能是a的相伴元。 例 3 在 中 , 任一素?cái)?shù) 既是素元又是不可約元 . 例 4 在 中 , 證明 : 是不可約元 , 但不是素元 . 證明 (1) 首先證明 在 中不可約 . 設(shè) , 則 . 所以 . 即 . 由此得 ( i) , 。 解此方程得 12ab??????? ， 21ab???????。 即1?和i?是環(huán)? ?Zi的全部單位。 因 K 滿足結(jié)合律，所以在G中亦滿足結(jié)合律。 在整數(shù)環(huán)Z中，只有177。 一、 相伴元、不可約元、素元 的定義 1 、 整數(shù)環(huán)中的整除及素?cái)?shù)的概念 在一般整環(huán)里的 推廣 。 在 一般的整環(huán)上 ， 元素的唯一分解性結(jié)論 怎么樣？ 由于整數(shù)環(huán) Z 和數(shù)域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px都是有單位元的整環(huán)，因此， 以下 所說(shuō)的環(huán) K ，均假定為有單位元的整環(huán)且1K ?。 例 1 在 中 , 6 有因子 : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6. 其中 1 與 1 為單位 , 6 和 6 與 6 相伴 , 2, 2, 3, 3 為 6 的真因子 . 容易證明通常整除的一些基本性質(zhì)在這里均成立。 所以ab為單位，故a b G?。 這只有 2 221ab? ? ? ?，從而 有 1??a ，0b ?或0a ?，1b ??。故只有 2 225ab? ? ? ?。若當(dāng)p a b時(shí)，必有pa或pb，則稱p為K 的 素元 。 設(shè)|ba?，令a b c? ?，且b不是單位，則有 1()a b c? ??，即|ba。 反過(guò)來(lái)，假定 a= bc b 和 c 都不是單位。 但p是素元，故有pa或pb。但易知2 2 2| | 5 3ab? ? ? ?，故只有2| | 1? ?或9。 習(xí) 題 二 十 六 解 答 1 、 證明 先一般地證明滿足29a ?的元a是? ?Zi的不可約元。 可以把m表為 ppm k (2?是０或奇數(shù)，k非負(fù)整數(shù)）我們說(shuō) 1??p時(shí)，即km 2??是單位，反之亦然 ２）D的
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