整環(huán)里的因子分解-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 為環(huán)K的一個(gè) 可約元 。 下證a?是 K 中 的 不可約元。 證明 若 a 有真因子 b , 那么 a = bc 這里的 b 由真因子的定義不是單位。 定理 . 4 環(huán) K 中素元一定是不可約元 。 若2| | 9? ?，則?必是環(huán)[ 5 ]Zi的不可約元。 2 、證明：2nmD m Z?????，nZ?，0n ? ???是整環(huán)，并指出 D 的哪些元素是單位，哪些是素元。 2. 證 D是整環(huán)，顯然。 (2) 由相伴元的定義可得 2 的相伴元只有 2 與 2 。221 ???，于是 239?，F(xiàn)設(shè)b m n i??是a的因子，則? ? ,a b c c Z i??， 于是2 2 29 a b c??， 而 對(duì),m n Z?? 2 223b m n? ? ?，因而有21b ?或 9 ， 當(dāng)21b ?時(shí)， b 為單位。因此，?只有平凡因子，即?是不可約元。 若pb，同理可得a是單位 ，b與p相伴。這樣， b 既不是單位，也不是 a 的相伴元， b 是 a 的真因子。設(shè) 1( ) ( )b a a? ? ? ????，（?是單位）。 (ii ) , 。 于是， 5 的全部真因子共有 8 個(gè)，它們是12 i??，2 i??。 （ 2 ）設(shè)a b i? ??是 5 在? ?Zi中的任一真因子 ， 則存在 ? ?Zi? ?， 使 得5 ???，2225 ???。 由于 K 的單位元 1 是可逆的，所以1 G?。 1 才是單位，因此 在整數(shù) 環(huán) Z 中 兩個(gè)整數(shù)相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩數(shù)相等或只相差一 個(gè)符號(hào)；數(shù) 域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中 的單位是全 體零次多項(xiàng)式，? ?Px中 兩個(gè)多項(xiàng)式相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩 個(gè)多項(xiàng)式只相差一個(gè)非零常數(shù)因子 。 定義 1 設(shè),a b K?，K? ?。 在數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中，每一個(gè)次數(shù)大于等于1 的多項(xiàng)式，都能分解成若干不可約多項(xiàng)式的乘積，而且除了因子次序和零次因式的差別以外，分解是唯一的。 （ 4 ）單位和相伴元稱為a的 平凡因子 ；別的因子，如 果有的話，稱為a的 非平凡因子或真因子 。 證明 對(duì)任意,a b G?， 有,a b K?，存在11,a b K?? ?， 因 1 1aa ? ?，1 1bb ? ?，
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