整環(huán)里的因子分解(存儲版)
【正文】 i a b Z?? ? ? ???是有單位元的 整環(huán) 。 習(xí) 題 二 十 六 1 、證明 ： 在高斯整環(huán)? ?D Z i?中， 3 是不可約元， 5 是可約元。 因為? ? ? ?5 2 2ii? ? ?， 所以 5 是? ?Zi的可約元。由2 2231mn? ? ? ?，則 只能1 , 0 , 1 .m ?? ? ? ? ?且 n 即反之，若 1 , 0 , 1 .m ?? ? ? ? ?且 n 即 則?顯然 顯然 是 D 的 單位 。21 ??? 但2 223mn? ??是一正整數(shù)，同樣239。 當(dāng)29b ?時，有21c ?， 即 c 是單位，于是 b 與a相伴，從而 b 不是a的真 因子 ，因此a是? ?Zi的不可約元。 由此可知，環(huán)[ 5 ]Zi中的元素3及25 i?都是不可約元。 因此p只有平凡因子，從而p是不可約元。證畢。 由于1?? ?也是單位，從而b是a?的相伴元，即a?只有平凡因子。 ( iii) , . (i) 如果 , 則 , 所以 . 如果 , 則 . 當(dāng) , 時 , . 因為 . 當(dāng) , 時 , . (i i) 如果 , , 這不可能。 實際上， 5 的不相伴的真因子只有兩個，12 i?，而其余的真因子都與這兩個中的某一個相伴。 這只有 21? ?、 5 或 25 。 G中的每一個元都有逆元， 且逆元在G中 。 顯然，環(huán) K 中元素間的相伴關(guān)系是一個等價關(guān)系。 （ 1 ） 若存在元素cK?使a b c?則稱b整除a，也稱 b是a的 因子 ，記為|ba。 1 相伴元、不可約元、素元 在整數(shù)環(huán)Z里，每一個非零的不等于1?的數(shù)，都可以分 解成若干素數(shù)（包括 負(fù) 素數(shù)）的乘積，而且除了因數(shù)次序和 1?的因數(shù)差別以外，分解是唯一的。 （ 3 ）若ab ??，其中?是 K 的一個單位，則稱a與b相伴 ，并稱a是b的 相伴元 。 2 、 整環(huán)的單位 的 性 質(zhì) ： 定理 設(shè) 環(huán)K的全體單位組成的集合為G，則G對K的乘 法構(gòu) 成一個交換群。 例 2 求出高 斯 整環(huán)? ?Zi中的所有單位以及整數(shù) 5 在? ?Zi 中的所有真因子。 即?是單位，?與 5相伴。 否則， 稱a
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