整環(huán)里的因子分解-免費(fèi)閱讀
【正文】 ?也是 正整數(shù)，因此，只有12??。 由于239 ?，所以 3 是? ?Zi的不可約元。 由于? ? ? ?3 2 5 2 5ii??，但 3 不能整除25 i?與25 i?中任何一個(gè)，即 3 不是環(huán)5Zi????的素元。 應(yīng)注意，這個(gè)定理的逆命題 不成立，即不可約元不 一定是素元 。 顯然，整數(shù)環(huán) Z 中的不可約元和素元都是正負(fù)素?cái)?shù)，數(shù)域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中 的不可約元和素元都是不可約多項(xiàng)式。因此a?是不可約元。 (i ii ) 如果 , , 則 . 由此知 , 的任一因子都不是真因子 , 故 在 中不可約 . (2) 證明 不是 中的素元 . 由于 , 而 , 故 不是素元 . 二、 相伴元、不可約元、素元 的關(guān)系 定理 4 . 1 . 2 環(huán) K 中不可約元a的任意相伴元仍為 K 中 的不可約元。 3 、不可約元、素元的定義： 定義 2 設(shè)0, ?? aKa 且a不是單位 。 由于?是 5 的真因子，而環(huán)? ?Zi的單位只有1?，i?， 故21? ?； 又225? ?。 故G對于 K 的乘法 構(gòu) 成交換群。 因此，若a與b相伴 ，則b與a相伴。 若b不能整除a， 則記為|ba?。In our classes, all the mobile phones should be switched off ! 上課啦！ The class is begin! 第四章 整環(huán)里的因子分解 第 26 講 167。 （ 2 ）若?是一個(gè)有逆元的元，則稱?為 K 的 單位 。 容易證明a與b相互整除當(dāng)且僅當(dāng)a與b相伴 。 推論 兩個(gè)單位?和? ?的乘 積?? ?也是一個(gè)單位，單位?的逆元1? ? 也是一個(gè)單位。 若225? ?， 則21? ?。若a只有平凡因子，則稱a為環(huán)K的一個(gè) 不可約元 。 證明 設(shè)?是 K 中 的 任意一個(gè)單位，則a?是a的 任 意一個(gè) 相伴元 。 定理 4. 1 . 3 整環(huán)中一個(gè)不等于零的元 a 有真因子的充分必要條件是： a = bc (b 和 c 都不是單位 ) 。但對一般的整環(huán) K 不可約元和素元是有區(qū)別的。 例 5 5 { 5 | , }Z i a b
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