【正文】 ( ) ( ) ( ) 1a b b a a b b a? ? ? ???。 在數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中，每一個(gè)次數(shù)大于等于1 的多項(xiàng)式，都能分解成若干不可約多項(xiàng)式的乘積，而且除了因子次序和零次因式的差別以外，分解是唯一的。 1 才是單位，因此 在整數(shù) 環(huán) Z 中 兩個(gè)整數(shù)相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩數(shù)相等或只相差一 個(gè)符號(hào)；數(shù) 域 P 上的一元多項(xiàng)式環(huán)? ?Px中 的單位是全 體零次多項(xiàng)式，? ?Px中 兩個(gè)多項(xiàng)式相伴當(dāng)且僅當(dāng)這兩 個(gè)多項(xiàng)式只相差一個(gè)非零常數(shù)因子 。 （ 2 ）設(shè)a b i? ??是 5 在? ?Zi中的任一真因子 ， 則存在 ? ?Zi? ?， 使 得5 ???，2225 ???。 (ii ) , 。這樣， b 既不是單位，也不是 a 的相伴元， b 是 a 的真因子。因此，?只有平凡因子，即?是不可約元。221 ???，于是 239。 2. 證 D是整環(huán)，顯然。 若2| | 9? ?，則?必是環(huán)[ 5 ]Zi的不可約元。 證明 若 a 有真因子 b , 那么 a = bc 這里的 b 由真因子的定義不是單位。 否則， 稱a為環(huán)K的一個(gè) 可約元 。 例 2 求出高 斯 整環(huán)? ?Zi中的所有單位以及整數(shù) 5 在? ?Zi 中的所有真因子。 （ 3 ）若ab ??，其中?是 K 的一個(gè)單位，則稱a與b相伴 ，并稱a是b的 相伴元 。 （ 1 ） 若存在元素cK?使a b c?則稱b整除a，也稱 b是a的 因子 ，記為|ba。 G中的每一個(gè)元都有逆元， 且逆元在G中 。 實(shí)際上， 5 的不相伴的真因子只有兩個(gè)，12 i?，而其余的真因子都與這兩個(gè)中的某一個(gè)相伴。 由于1?? ?也是單位，從而b是a?的相伴元，即a?只有平凡因子。 因此p只有平凡因子，從而p是不可約元。 當(dāng)29b ?時(shí)，有21c ?， 即 c 是單位，于是 b 與a相伴，從而 b 不是a的真 因子 ，因此a是? ?Zi的不可約元。由2 2231mn? ? ? ?，則 只能1 , 0 , 1 .m ?? ? ? ? ?且 n 即反之，若 1 , 0 , 1 .m ?? ? ? ? ?且 n 即 則?顯然 顯然 是 D 的 單位 。 習(xí) 題 二 十 六 1 、證明 ：