屆總復習-走向清華北大--22正弦定理和余弦定理(更新版)
【正文】 +b中隱含的 a4這一要求. [正解 ]由 可得 bc=4, 所以 abc,即最大邊長為 a, 所以 A=120176。 180176。 的方向行駛 ,才能最快截獲走私船 ,大約需要 15分鐘 . [評析 ]應用解三角形的知識解決實際問題的基本步驟是 :(1)根據題意 ,抽象或者構造出三角形 。 +30176。 方向 ,距 A處 海里的 B處有一艘走私船 .在 A處北偏西 75176。 的角叫做方向角 :從指正北方向線順時針轉到目標方向線所成的角度叫做方位角 . .目標方向角一般可用 “ x偏 x多少度 ” 來表示 ,這里第一個 “ x” 是 “ 北 ” 或“ 南 ” ,第二個 “ x” 是 “ 東 ” 或 “ 西 ” .如北偏東 25176。 |BC| AC 或 120176。 ④ a:b:c=sinA:sinB:sinC. (1)余弦定理的內容 c2=b2+a22bacosC, b2=a2+c22accosB, a2=b2+c22bccosA. (2)余弦定理的變形 (3)勾股定理是余弦定理的特殊情況 在余弦定理表達式中分別令 A?B?C為 90176。 ,則角 A等于 ( ) 176。 , a,則 ( ) b b =b b的大小關系不能確定 解析 :c2=a2+b22abcos120176。 ,∠ A=30176。 sinB ∴ △ ABC的面積為 或 [反思感悟 ]本題主要考查正弦定理 ?三角形面積公式及分類討論的數學思想 ,同時也考查了三角函數的運算能力及推理能力 . 類型二 判斷三角形的形狀 解題準備 : ?余弦定理及其變形 ,把題設條件中的邊 ?角關系轉化為角或邊的簡單關系 ,從而進行判斷 . :一是化邊為角 ,以角為著眼點 ,利用正 ?余弦定理及變形 ,把已知條件轉化為內角三角函數之間的關系 ,走三角變形之路 。 ② 依題意畫出示意圖 。 ACcosA, ( )2+222( ) ,∴ 緝私船沿北偏東 60176。(4)給出結論 . 錯源一 因忽視邊角關系而致錯 【 典例 1】 在△ ABC中 ,已知 A=60176。 應舍去 . [正解 ]在△ ABC中 ,由正弦定理可得 因為 ab,所以 AB,所以 B=45176。 的直線 xx′,yy′,其交點為 O,甲、乙兩輛汽車分別在 xx′,Oy′上行駛 ,起初甲離 O點 30 km,乙離 O點 10 km,后來兩車均用 60 km/h的速度 ,甲沿 xx′方向 ,乙沿 yy′方向行駛 (設甲、乙兩車最初的位置分別為A,B). (1)起初兩車的距離是多少 ? (2)用包含 t的式子表示 ,t小時后兩車的距離是多少 ? [解 ](1)由余弦定理 ,知 AB2=OA2+OB22 OA OB cos60176。再在△ BCD中 ,利用正弦定理得到關于 θ的三角函數關系式 ,進而解出 θ. [方法與技巧 ]題中已知條件較多 ,為了求傾斜角 ,根據題意畫出其示意圖 ,將已知條件歸結到△ ABC與△ BCD中 .在△ BCD中 ,利用三角形的性質 ,將 ∠ CDB與角 θ聯系起來 ,從而在兩個三角形中 ,利用正弦定理將 θ求出 .
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