【正文】 稱 ，（ ＝ 1， 2， ? ）為（ X， Y）的分布律 . （ X， Y）的分布律還可以寫成如下列表形式 ② （ X， Y）分布律的性質(zhì) [1] ，（ ＝ 1， 2， ? ）； [2] 例題 2. P62 【例 3－ 2】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 a的值。 【答疑編號(hào) 12030101】 解：我們?nèi)?, = 111+0=10,不滿足第 4條性質(zhì)，所以不是。P{Y=0}= P{X=0， Y=1}=P{X=0} 【答疑編號(hào) 12030203】 解： 解：（ X,Y）的概率密度為 由于 于是 令 則有 因?yàn)? 因而（ X,Y）關(guān)于 X的邊緣概率密度為 即 X～ N（ 0,1） , 類似可得（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 即 Y～ N（ 0,1） 例題 12. P71 【例 3－ 13】設(shè)（ X,Y）的概率密度為 求 【答疑編號(hào) 12030204】 解： 167。 【答疑編號(hào) 12030207】 解： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其概率密度及關(guān)于 X和 Y的邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， 和 則 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是等式 幾乎處處成立 . 例題 16： P75（相互獨(dú)立） 【例 3－ 17】證明 38中的 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12030310】 答案： C 2.（ 406）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 則常數(shù) c=（ ）。 【答疑編號(hào) 12040102】 解：分別計(jì)算 X和 Y的數(shù)學(xué)期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。 【答疑編號(hào) 12040106】 解： 例題 7. P89 【例 4－ 8】設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為 求 E（ X）。 【答疑編號(hào) 12040207】 解： 例題 14. P94 【例 4－ 15】 4個(gè)人進(jìn)行射擊比賽，每人射 4發(fā)，在射擊時(shí)，約定某人全部不中得 0分，只中一彈得 15分，中兩彈得 30分，中三彈得 55分，中四彈得 100分。 【答疑編號(hào) 12040302】 ① 計(jì)算公式： D（ X） =E（ X2） （ E（ X）） 2. 證明： ② 若離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 18】設(shè)隨機(jī)變量 X的期望 E（ X） =2，方差 D（ X） =4，求 E（ X2）。 將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項(xiàng)分布可知，二項(xiàng)分布隨機(jī)變量 X能表示成 n個(gè)相互獨(dú)立的兩點(diǎn)分布隨 機(jī)變量之和： X=X1+X2+?+X n，因?yàn)?Xi的方差為 pq,i=1， 2， ? ， n，則 D（ X） =D（ X1） +D（ X2） +?+ D （ Xn） =npq. 例題 11. P103 【例 4－ 26】設(shè) X1， X2， ?X n相互獨(dú)立， E（ Xi） =μ,D （ Xi） =σ 2（ i=1， 2， ? ， n），求的期望和方差。求 cov（ X， Y），并判斷X， Y是否相互獨(dú)立。 【答疑編號(hào) 12040506】 、協(xié)方差矩陣 （ 1）矩的定義：設(shè) X為隨機(jī)變量， k為正整數(shù)， ① 如果 E（ Xk）存在，則稱 E（ Xk）為 X的 k階原點(diǎn)矩，記為 vk=E（ Xk）； ② 如果 存在，則稱 為 X的 k階中心矩，記為 ＝ . （ 2）兩種隨機(jī)變量的矩 ① 離散型隨機(jī)變量的矩：若離散型隨機(jī)變量 X的分布 律為 P{X=xi}=pi， i＝ 1， 2， ? ，則 ， . ② 連續(xù)型隨機(jī)變量的矩：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 ，則 ， . 顯然，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差 . （ 3）混合矩定義：設(shè) X， Y為隨機(jī)變量， ① 若 （ k,l＝ 1， 2， ? ）存在，則稱其為 X和 Y的 階混合原點(diǎn)矩； ② 若 存在，則稱其為 X和 Y的 階混合中心矩 . 顯然，協(xié)方差是二階混合中心矩 . （ 4）協(xié)方差矩陣 ① 二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣定義： 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的 4個(gè)二階中心矩為 C11=E[X1E（ X1） ] 2 =cov（ X1 ,X1） =D（ X1） , C12=E[（ X1E（ X1））（ X2E（ X2）） ] =cov（ X1 ,X2） , C21=E[（ X2E（ X2））（ X1E（ X1）） ] =cov（ X2 ,X1） , C22=E[（ X2E（ X2）） ] 2 =cov（ X2 ,X2） = D（ X2） , 則稱矩陣 為二維隨機(jī)變量（ X1,X2）的協(xié)方差矩陣 . ② n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣定義：設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的二階中心矩為 （ i,j＝ 1， 2， ? ， n）， 則稱矩陣 為 維隨機(jī)變量（ X1,X2,?,X n）的協(xié)方差矩陣 . 顯然，上述矩陣 C是正實(shí)數(shù)對(duì)稱陣，且其主對(duì)角線上的元素為 （ i＝ 1， 2， ? ， n）的方差 . 例題 8. P112 【例 4－ 38】設(shè)（ X,Y）的協(xié)方差矩陣為 ,求 ρ XY, 【答疑編號(hào) 12040601】 本章小結(jié) 一、內(nèi)容 二、試題選講 1.（ 407）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松分布，則下列結(jié)論中正確的是（ ） . A. E（ X） =， D（ X） = （ X） =， D（ X） = C. E（ X） =2， D（ X） =4 （ X） =D（ X） =2 【答疑編號(hào) 12040602】 答案： D 2.（ 708）設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 ，則 E（ x）＝（ ） . A. B. C. 【答疑編號(hào) 12040603】 答案： D 3.（ 1007）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 3的泊松分布， Y～ B（ 8， ），且 X， Y相互獨(dú)立，則 D（ X3Y4）＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040604】 答案： C 4.（ 709）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ B（ 36， ）， Y～ B（ 12， ），則 D（ XY+1）＝（ ） . A. B. C. D. 【答疑編號(hào) 12040605】 答案： C 5.（ 408）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X～ N（ 1， 4）， Y～ N（ 0， 1），則 D（ XY）＝（ ） . A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答疑編號(hào) 12040606】 答案： C 6.（ 720）設(shè)隨機(jī)變量 X， Y的分布律分別為 且 X與 Y相互獨(dú)立，則 E（ XY）＝ ______________. 【答疑編號(hào) 12040607】 答案：－ 7.（ 409）已知 D（ X）＝ 4， D（ Y）＝ 25， Cov（ X,Y）＝ 4，則 ＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040608】 答案： C 8.（ 1008）已知 D（ X）＝ 1， D（ Y）＝ 25， ＝ ，則 D（ XY）＝（ ） . 【答疑編號(hào) 12040609】 答案： B 9.（ 1022）設(shè)二維隨機(jī)變量 ～ ， ； ， ； ），且 X與 Y相互獨(dú)立，則 ρ ＝ ____________. 【答疑編號(hào) 12040610】 答案： 0 10.（ 428）設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 ，試求： （ 1）常數(shù) c； 【答疑編號(hào) 12040611】 （ 2） E（ X）， D（ X）； 【答疑編號(hào) 12040612】 （ 3） . 【答疑編號(hào) 12040613】 答案：（ 1） ；（ 2） 0， ；（ 3） 1