【正文】 ，滿分 60 分） 17．已知數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且對(duì)任意正整數(shù) n，都有 3an=2Sn+3 成立． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) bn=log3an，求數(shù)列 { }的前 n 項(xiàng)和 Tn． 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和． 【分析】 （ 1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列 {an}為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案； （ 2）把數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式代入 bn=log3an，求得 bn，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{ }的前 n 項(xiàng)和 Tn． 【解答】 解：（ 1）在 3an=2Sn+3 中，取 n=1 得 a1=3， 且 3an+1=2Sn+1+3， 兩式相減得 3an+1﹣ 3an=2an+1， ∴ an+1=3an， 又 a1≠ 0， ∴ 數(shù)列 {an}是以 3 為公比的等比數(shù)列， ∴ an=3?3n﹣ 1=3n； （ 2） bn=log3an=n， ∴ = ， ∴ 數(shù)列 { }的前 n 項(xiàng)和 Tn=（ 1 ） +（ ） +（ ） +… +（ ）=1﹣ ． 18．如圖，在正四棱錐 P﹣ ABCD 中， AB=2， PA= ， E 是棱 PC 的中點(diǎn)，過(guò)AE 作平面分別與棱 PB、 PD 交于 M、 N 兩點(diǎn)． （ 1）若 PM= PB， PN=λPD，求 λ 的值； （ 2）求直線 PA 與平面 AMEN 所成角的正弦值的取值范圍． 【 考點(diǎn)】 直線與平面所成的角． 【分析】 （ Ⅰ ）連接 AC、 BD 交于點(diǎn) O，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A（ 0，﹣ ， 0）， B （ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， D（﹣ ，0， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， ， 1）由 AN， AE， AM 共面， ?? ． （ Ⅱ ）根據(jù)正四棱錐 P﹣ ABCD 的對(duì)稱性可知，當(dāng) PM=PN 時(shí)， P 到面 AMEN 的距離最大，此時(shí)直線 PA 與平面 AMEN 所角最大， P 到面 AMEN 的距離最小，此時(shí)直線 PA 與平面 AMEN 所角最小．利用向量分別求出求解直線 PA 與平面 AMEN 所成角的正弦值． 【解 答】 解：（ Ⅰ ）連接 AC、 BD 交于點(diǎn) O，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A（ 0，﹣ ， 0）， B （ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， D（﹣， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， ， 1） ， ， ， ，． ， ∵ AN， AE， AM 共面， ∴ ? ? ． （ Ⅱ ）根據(jù)正四棱錐 P﹣ ABCD 的對(duì)稱性可知，當(dāng) PM=PN 時(shí)， P 到面 AMEN 的距離最大，此時(shí)直線 PA 與平面 AMEN 所角最大， ， P 到面 AMEN 的距離最小，此時(shí)直線 PA 與平面 AMEN 所角最?。? ① 由（ Ⅰ ）知當(dāng) PM=PN 時(shí)， λ= ， ， 設(shè)面 AMEN 的 法向量為 ， 由 ， 取 設(shè)直線 PA 與平面 AMEN 所成角為 θ， sinθ=|cos＜ ＞ |= ， ② 當(dāng) M 在 B 時(shí)，因?yàn)?AB∥ 面 PDC，所以過(guò) AB， AE 的面與面 PDC 的交線 NE∥ AB 設(shè) 是面 ABEN 的法向量， 由 ，可取 sinθ=|cos＜ ＞ |= ． 直線 PA 與平面 AMEN 所成角的正弦值的取值范圍為 [ ， ] 19．空氣質(zhì)量問(wèn)題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團(tuán)隊(duì)根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問(wèn)題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過(guò)測(cè)試得 到霧炮降塵率的頻率分布直方圖： 若降塵率達(dá)到 18%以上，則認(rèn)定霧炮除塵有效． （ 1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)霧炮除塵有效的概率； （ 2）現(xiàn)把 A 市規(guī)劃成三個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域投放 3 臺(tái)霧炮進(jìn)行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的 3 臺(tái)霧炮降塵率都低于 18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入 20 萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理，求后期投入費(fèi)用的分布列和期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ 1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率 P= 5 +5 +5 +5 ． （ 2）由（ 1）可 得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的 3 臺(tái)霧炮降塵率都低于 18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入 20 萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理， 因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì)該區(qū)域后期追加投入 20 萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P= = ．后期投入?yún)^(qū)域 X～ B ．后期投入費(fèi)用 ξ=20X（萬(wàn)元）．利用P（ ξ=20k） =P（ X=k） = 即可得出． 【解答】 解：（ 1）估計(jì)霧炮除塵有效的概率 P= 5 +5 +5 +5 = ． （ 2）由（ 1）可得：在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的 3 臺(tái)霧炮降塵率都低于 18%，則需對(duì)該區(qū)域后期追加投入 20 萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理， 因此在一個(gè)區(qū)域內(nèi)需對(duì) 該區(qū)域后期追加投入 20 萬(wàn)元繼續(xù)進(jìn)行治理的概率P= = ． ∴ 后期投入?yún)^(qū)域 X～ B ．后期投入費(fèi)用 ξ=20X（萬(wàn)元）． P（ ξ=20k） =P（ X=k） = ． ξ 的分布列為： ξ 0 20 40 60 P Eξ=0+ +40 +60 =（萬(wàn)元）． 20．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 E： + =1（ a＞ b＞ 0）過(guò)點(diǎn)（ ， 1），且與直線 x+2y﹣ 4=0 相切． （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若橢圓 E 與 x 軸交于 M、 N 兩點(diǎn)，橢圓 E 內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn) P 使 |PM|、 |PO|、|PN|成等比數(shù)列，求 ? 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ 1）由橢圓 E： + =1（ a＞ b＞ 0）與直線 x+2y﹣ 4=0 相切，聯(lián)立， 由 △ =0，可得 … ① ，由橢圓 E： + =1（ a＞ b＞ 0）過(guò)點(diǎn)（ ， 1），∴ … ② ，由 ①② 得 a2， b2 （ 2）設(shè) P（ m， n），由 |PO|2=|PN|?|PM|?（ m2+n2） 2= ?m2=n2+2， ∴ =2n2﹣ 2，由 n 的范圍求得其