【正文】 確定 有效解和弱有效解； ( 2) 對象集? ?RF的研究可以提供 — 些解多目標規(guī)劃的方法； ( 3) 可以從幾何上（例如2p ?時）對一些常用的解法加以解釋。 若所有權系數0 , 1 , 2 , . . . ,iip? ??，則稱這組權系數為正權，正權的全體可以記為： 210 , 1 , 2 , ..., 。 1 1 2 2f f C?? ??? ?RF1f2f2f1f 乘除法 假如我們的目標可以分為兩組：一組要求? ? ? ? ? ?12, , . . . ,kf f fx x x的值越小越好；另一組要求? ? ? ? ? ?12, , . . . ,k k pf f f??x x x越大越好。 若? ?? ?h Fx是? ?Fx的單調增函數，則轉化后的單目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解是多目標規(guī)劃問題的弱有效解。 線性功效系數法 線性功效系數法 線性功效系數法 ( 2) 對于當1 , 2 , . . . ,i k k p? ? ?時，要求? ?if x越大越好，故可?。? ? ?? ?? ?10ii i i iiiiiiiffd d f f ffff f fff? ??? ? ??????????xx 其中式選取? ?iiiiffff??x作為函數值，主要是因為過兩點? ?,0if和? ?,1if可作一條直線，其方程為：? ? ? ?? ? 0, 1 , 2 , . . . ,10iiiiiidfffi k k pff??? ? ? ???xx 于是可得：? ?? ?? ?, 1 , 2 , ...,iiiiiiffd f i k k pff?? ? ? ??xx，? ?? ?iidf x的圖形見圖所示。 1 1 ]。 1 1 ]。 0 。 多目標規(guī)劃的 MATLAB求解 例 利用最大最小法求解 ? ?? ?2221 1 2 32 2 21 1 2 31 2 31 2 3m inm in 2 3s. t. 3, , 0f x x xf x x xx x xx x x? ? ? ??? ? ???? ? ?????xx 根據最大最小法評價函數的建立方法： ? ?? ? ? ?? ?1m i n m a xiiR iphf ?? ???xF x x 仍然選擇與上例相同的權值，故可知最大最小法的兩個目標函數為： ? ? ? ?? ? ? ?2221 1 2 32 2 21 1 2 3 2 3f x x xf x x x? ? ? ???? ? ???xx 多目標規(guī)劃的 MATLAB求解 于是我們在 M A T L A B 中建立描述目標函數的 M 函數文件 o bj f u n . m 如下： f u n c t i o n f =o b j f u n (x ) f (1 )=0 . 8 * (x (1 )^ 2 +x ( 2 )^ 2 +x (3 )^ 2 )。 0 ]。下面看一個例子 線性目標規(guī)劃 線性目標規(guī)劃 假設甲和乙的產量分別為1x噸和2x噸，消耗 A ? ?12xx ?噸，消耗 B 為? ?122 xx ?噸，于是購買原材料所需費用為：? ? ? ?1 2 1 2 1 23 0 0 0 2 0 0 0 2 7 0 0 0 5 0 0 0c x x x x x x? ? ? ? ? ? 銷售這些產品所獲得的總收入為：121 5 0 0 0 1 1 0 0 0I x x??， 以利潤f為目標函數，考 慮到固定費用，可以表達如下： ? ?1 2 1 2 1 21 5 0 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 0 5 0 0 0 3 0 0 0 0 0 8 0 0 0 6 0 0 0 3 0 0 0 0 0f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 再看該問題的約束條件，由供應量約束可得：1 2 1 26 0 。這是因為可以在線性目標規(guī)劃的每個約束條件中引入一對正負偏差變量，通過偏差變量可以表達條件是否可以被滿足。 那么在上述目標描述下，利潤目標和訂貨合同是否可以完成，原料是否夠用，是否需要添置？ 線性目標規(guī)劃 當用線性目標規(guī)劃來解此問題時，首先應當確定共有到達利潤指標、完成定貨合同及充分利用庫存這 3 個目標，并用d? 和d? 分別表示其正、負偏差變量，然后按照要求確定這 3 個目標的優(yōu)先順序，分為 3 個優(yōu)先級。在例 8 2 中我們已經提及了偏差變量、目標規(guī)劃的目標函數等等，下面對這些概念進行詳細的分析。在例 8 3 中設四種設備中 C 、 D 設備屬于上級部門設備，工廠無權超額使用，則這種約束稱為系統(tǒng)約束（剛性約束），目標約束是指對某種資源的使用可由決策者的目標而加以限制的約束，在例 8 3 中設備 A 、 B 屬于工廠設備，可根據目標需要加班使用，這種有機動余地的約束稱為目標約束（柔性約束）。 為反映這一點，必須給這些偏差變量以適當的權系數，注意到在現實的決策環(huán)境中各個目標的重要程度是不可能完全 — 致的，決策者總要運用他的判斷能力分析各個目標的重要性，給出其輕重緩急，而目標規(guī)劃法又允許我們可以根據目標的重要程度給予每個目標以不同的優(yōu)先等級．這樣，低級的目標只有在高級的目標完成之后才順序考慮以后我們將會看到在相同的條件之下，對于不同的權系數與不同的優(yōu)先等級會得出完全不同的最優(yōu)方案。決策者可根據變化通過調整優(yōu)先等級和權系數來求出不同方案，以適應問題的變化 線性目標規(guī)劃的數學模型 一般線性目標規(guī)劃的數學模型： ? ?1111m in. , 1 , 2 , ..., 1 , 2 , ...,0 , 1 , 2 , ..., 0 , 1 , 2 , ...,kmi ij j ij jijnij j ijnij j i i ijjiif p f d f da x b i lc x d d e i mx j nd d i m? ? ? ?????????????????????? ? ? ?????????????? jx：多目標規(guī)劃問題的設計變量；ija：系統(tǒng)約束的系數；ijc：目標約束的系數； ib：第 i 個約束的右端常數；ie：第 i 個目標的期望值；ip：目標的優(yōu)先級別（優(yōu)先因子）； ijf?：ip級目標中id? 的系數；ijf?：ip級目標中id? 的系數；id? ,id? ：偏差變量。 設計如下變量： 1x：全體全時售貨員下月的工作時間（小時） 2x：全體半時售貨員下月的工作時間（小時） 1d? ：達不到銷售目標的負偏差 1d? ：超過銷售目標的正偏差 由于制定的目標為銷售量 5500 ，于是該約束可以表達為： 1 2 1 15 2 5500x x d d??? ? ? ? 線性目標規(guī)劃的數學模型 ② 正常工作時間約束 銷售時間由兩種售貨員的正常工作時數和人數所決定。在前面的約束中我們不能得到一個偏差變量使之滿足這個目標，所以必須引進新的約束條件 ，故 把全時售貨員加班時間列為第四個目標。于是有：全時售貨員每加班 l 小時，賣出 5 張唱片的總利潤為 15 元，扣去加班費 9 元，則商店得利潤 15 9= 6 元。 1 , 2 , 3 , 4i j jf p d p d p d dx x d dx x d dx x d dx x d dx d d i j? ? ? ????????????? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ??? 序列法 第一步，計算1p等級目標的最優(yōu)解。 3 , 4i j jf p dx x d dddx x d dx d d i j?????????? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ??? 其中，約束條件 l 是1p目標的目標約束；約束條件 2 是1p目標達到最優(yōu)時該目標方程中設計變量的值，該約束用于保證在求解當前2p目標最優(yōu)值時，1p目標的最優(yōu)值不被改變。新增加的約束條件 5 和約束條件 6 是對應于3p等級目標的目標約束。 將目標函數變?yōu)? 1 2m i n d d????，得到最優(yōu)解為：129 0 0 0 , 7 0 0 0 ,xx ?? 1 2 3 3 4 45000 , 3000 , 0d d d d d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?于是得到最優(yōu)目標函數值*31800f ?。 ( 2) 用單純形法求解 將目標函數變換為24mi n fd??，得到最優(yōu)解：1 2 3 3 4 49000 , 7000 , 0x x d d d d? ? ? ?? ? ? ? ? ?， *20f ?。 將 目標函數變換為13m i n fd??，用線性規(guī)劃的方法求解， 一個最優(yōu)解是：1 2 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?； 另一個最優(yōu)解是：2 1 3 3160 00 , 0 , 0x x d d??? ? ? ?。因此，全時的和半時售貨員加班 1 小時所獲得利潤的比為 3: 1 ，故權因子之比為23: 1 : 3dd??? 線性目標規(guī)劃的數學模型 所以，這個問題的目標規(guī)劃模型為： ? ? ? ?1 1 2 21 3 2 3 4 3 21 2 1 11 2 22 3 32 21 2121 21m in 2 3 . 5 2 5500800320100, , , , 0 , 1 , 2 。限制全時售貨員的加班時數不超過 100 小時。 5 個全時售貨員，故正常的每月工作時數為 5 160 ＝ 800 小時，半時工作的售貨員的每月工作時數為 4 80 ＝ 320 小時。上述問題中的這些變量和系數在目標規(guī)劃中均起著各自的作用。優(yōu)先因子ip可以理解成僅僅是一種符號，用來區(qū)別各個目標的重要程度．又可以理解成一種權系數。 則原線性規(guī)劃的目標函數對應于目標規(guī)劃中的一個目標約束： 1 2 1 12 3 12x x d d??? ? ? ? 線性目標規(guī)劃的數學模型 線性目標規(guī)劃的數學模型 ( 3) 目標規(guī)劃中的目標函數 （ 達成函數 ） 多目標規(guī)劃中的各個目標函數、在通過引入偏差變量而列入到約束條件后，那么在目標規(guī)劃中的目標函數就是要使各目標函數值最接近各自的期望值，即要使得偏差達到最小值。事實上，當實際值超出規(guī)定目標值時，則有 0d ? ? 且 0d ? ? ；當實際值未達到規(guī)定目標值時，則 0d ? ? 且 0d ? ? ；當實際值與規(guī)定目標值一致時，則 0dd ?? ?? ，故恒有0dd ?? ?? 。 60 。 線性目標規(guī)劃 ? 線性目標規(guī)劃的優(yōu)勢 ? 首先，在每個約束條件中引入正、負偏差變量，使硬約束變成軟約束，大大增加了求得可行解的機會 ? 再者，將距各個目標值的偏差總和最小作為目標函數，便于處理多目標問題。 2 5xx ?? 于是，最優(yōu)化問題可以歸結為： ? ?12121212m a x 80 00 60 00 30 00 00. 602 902025f x xxxxxxx? ? ? ???????????????x 我們可以利用單純形法求解上述問題，結果為當123 0 , 3 0xx ??，即兩種產品的產量均為 30 噸時，工廠所獲的最大利潤為120230f ?。 1 。 之后調用 f mi n im a x 函數進行求解，同樣設置初始點為 [ 1。 x 0 =[1 。 8 ] l b =[0 。 8 ] l b =[0 。為了確定0b和1b，規(guī)定：? ? ? ?1 1 1