【正文】 需要的重要不等式，這里 n aan aaaaaa n nnn nn22111111 ????????? ???? 其中， 3,2?n 等的各式及其變式公式均可供選用。39。 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有 10多種 ,如使用上述例 5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造 “分房問題 ”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文 [1]。),2()22()1ln)(22()22(ln)22()22(ln)]()()([21)(ln)()1ln()1ln()1ln()()2(39。139。 所以，取 40090 22n ??，對(duì) 0nn??都有： 20202 14017111 012312 ????????????? ??????????? ?????????? ? ? nnnn SSbbbbbb ? 故有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020?n 成立。 ?????? x xxxf,令 0)(39。 ?xf 有 21 ??x ,令 0)(39。 例 23.(2020 年泉州市高三質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) ),1()( 2 Rcbcbxxxf ????? ，若 )(xf 的定義域?yàn)?[－ 1， 0]，值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿足 )()(*3 Nnnnfbn ??，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，問是否存在正常數(shù) A，使得對(duì)于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結(jié)論。239。2211222111211122111221nfaaaaaaaCaaCaaCCCCaaCaCaCaaCaaCaaCnSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn?????????????????????????????????????????????? ★ 例 42. (2020 年江西高考試題 )已知函數(shù) ? ? 118axfx axxa? ? ? ???, ? ?0x,? ?? .對(duì)任意正數(shù) a ,證明： ? ?12fx??． 解析 :對(duì)任意給定的 0a? , 0x? ,由1 1 1( ) 1 1 81fx xaax? ? ??? ?, 若令 8b ax? ，則 8abx? ① ,而 ? ? 1 1 11 1 1fx x a b? ? ?? ? ?② 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk （一）、先證 ?? 1fx? ；因?yàn)?1111 xx? ??， 1111 aa? ??， 1111 bb? ??， 又由 42 2 2 2 4 2 8a b x a bx abx? ? ? ? ? ? ? ，得 6a b x? ? ? ． 所以 ? ? 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1fx x a bx a b? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?3 2 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ? 9 ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b xx a b? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ( ) ( ) 1(1 ) (1 ) (1 )a b x a b a x b x a b xx a b? ? ? ? ? ? ???? ? ?． （二）、再證 ?? 2fx? ；由 ① 、 ② 式中關(guān)于 ,xab 的對(duì)稱性，不妨設(shè) x a b??．則 02b?? （ ⅰ ）、當(dāng) 7ab??，則 5a? ，所以 5xa??，因?yàn)? 1 11 b??， 1 1 2 11 1 1 5xa? ? ?? ? ?，此時(shí) ? ? 1 1 1 21 1 1fx x a b? ? ? ?? ? ?． （ ⅱ ）、當(dāng) 7ab??③ ，由 ① 得 , 8xab?， 181 ababx ? ??， 因?yàn)? 2221 1 [ 1 ]1 1 4 ( 1 ) 2 ( 1 )b b bb b b b? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 1 1(1 )1 b bb ?? ??④ 同理得 1 12(1 )1 a aa ????⑤ ，于是 ? ? 1222 1 1 8a b a bfx a b a b??? ? ? ???? ? ???⑥ 今證明 21 1 8a b aba b ab??? ? ?⑦ , 因?yàn)? 21 1 (1 )(1 )a b a ba b a b??? ? ? ? ， 只要證 (1 )(1 ) 8ab aba b ab?? ? ?，即 8 (1 )(1 )ab a b? ? ? ?，也即 7ab??，據(jù) ③ ，此為顯然． 因此 ⑦ 得證．故由 ⑥ 得 () 2fx? ． 綜上所述，對(duì)任何正數(shù) a,x ，皆有 ? ?12fx??． 例 : 213 121111 ???????? nnn ? 解析 :一方面 : 1422141312113 12111 ????????? ????????? nnn ? (法二 )?????? ?????? ??????????? ????????? ??????????? 1113 1312113 1112113 12111 nnnnnnnnn ?? ???????? ?? ???????? ??? )13)(1( 24)2(3 24)1)(13( 2421 nn nnn nnn n ? ? ? 1)12( )12()12( 1)1()12( 1)12( 112 22222222 ???????????? ????????????? nnnnnnnnn ? 另一方面 : 212211213 12111 ????????????? nnnnnnn ? 十 、 二項(xiàng)放縮 nnnnnn CCC ?????? ?10)11(2 , 12 10 ???? nCC nnn , 2 22 2210 ?????? nnCCCnnnn )2)(1(2 ??? nnnn 例 44. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 解析 : ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ??????? )1)()1( 11(11 nn anna .)1( 1))1( 11l n()1l n()1l n( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 nn na )11(??，求證：數(shù)列 }{na 單 調(diào)遞增且 .4?na 解析 : 引入一個(gè)結(jié)論：若 0??ab 則 )()1(11 abbnab nnn ???? ?? （證略） 整理上式得 ].)1[(1 nbanba nn ???? （ ? ） 以nbna 11,111 ?????代入（ ? ）式得 ??? ?1)111( nn .)11( nn? 即 }{na 單調(diào)遞增。 注： ① 上述不等式可加強(qiáng)為 .3)11(2 ??? nn簡(jiǎn)證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： .1111)11(221 nnnnnnn nCnCnCna ????????? ? 只取前兩項(xiàng)有 .2111 ???? nCa nn對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： .2 1221 1!111!11 1???????????? kkkn knknnnnnknC ?? 故有 .32/11 )2/1(12122 1212111 112 ???????????? ?? nnna ? ② 上述數(shù)列 }{na 的極限存在，為無理數(shù) e ；同時(shí)是下述試題的背景： 已知 nmi , 是正整數(shù)，且 .1 nmi ??? （ 1）證明 iniimi AmAn ? ；（ 2）證明 .)1()1( mn nm ??? （ 01年全國(guó)卷理科第 20題） 簡(jiǎn)析 對(duì)第（ 2）問：用 n/1 代替 n 得數(shù)列 nnn nbb 1)1(:}{ ?? 是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法：數(shù)列 })1{( 1nn? 遞減，且 ,1 nmi ??? 故 ,)1()1( 11 nm nm ??? 即 mn nm )1()1( ??? 。 nfnS n ??? eaaaaaxxxeaaeaaaaxfaaafxfaaxfaxxfaxaaaaaxfaaxf1m i nm i n39。 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設(shè)函數(shù)221() 2xfxx ?? ?.若對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。于是nnn nnaa 211lnln 21 ?????， .22112211)21(111lnln)211()ln(l n 11211111 ??????????????? ?????? ?? nnniniiini nnaaiiaa 即 .2lnln 21 eaaa nn ???? 注：題目所給條件 ln(1 )xx??（ 0x? ）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論)2)(1(2 ??? nnnn 來放縮： ??????? )1( 1))1( 11(1 nnanna nn ?????? )1)()1(1(11 nn anna .)1( 1))1( 11ln()1ln()1ln( 1 ????????? nnnnaa nn 111)1l n()1l n()1( 1)]1l n()1l n([ 212112 ????????????? ?? ????? naaiiaa nniiini ， 即 .133ln1)1ln ( 2eeaa nn ??????? 例 15.(2020 年廈 門市質(zhì)檢 ) 已知函數(shù) )(xf 是在 ),0( ?? 上處處可導(dǎo)的函數(shù) ,若 )()(39。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項(xiàng)放縮 例 1.(1)求 ?? ?nk k1 2 142 的值 。2 ??? x xfxxfxg,所以函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) (II)因?yàn)?),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) ,所以 )()()()(2121 1121 211 1 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? )()()()( 2121 2221 212 2 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? 兩式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf ??? (3) )()()()(2121 1121 211 1 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? )()()()( 2121 2221 212 2 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ?…… )()()()( 212121 21 nnnnn nn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? 相加后可以得到 : )()()()( 2121 nn xxxfxfxfxf ??????? ?? 所以 )l n ()(lnlnlnln 2121332211 nnnn xxxxxxxxxxxxxx ??????????? ??? 令2)1( 1nxn ??, 有 ????????? ??????? 22222222 )1l n()1( 14ln413ln312ln21 nn? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk ???????? ????????????? ????? 2222222 )1( 13121ln)1( 1413121 nn ?? ?????? ??????????????? ????? nnn )1( 123 112 1ln)1( 13121 222 ?? )2)(1(2212111 ?????????? ???????? ??