【正文】 以nba 211,1 ???代入（ ? ）式得 .4)211(21)211(1 2 ?????? nn nn 此式對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有 4)11( ??nn，又因?yàn)閿?shù)列 }{na 單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù) n 有4)11( ?? nn 。1 ????? ? nfCfCfCnS nnnn ?求證： )2()22()( 39。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當(dāng) kn 2? 時(shí) , 12?kTn , 因此，對(duì)任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當(dāng) 222 ?? mn 時(shí) ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對(duì)所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(2020年 中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域?yàn)?nD,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當(dāng) 2?n 時(shí) ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因?yàn)閚nnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn,求證 :當(dāng) 2?n 時(shí) ,nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過(guò)迭代的方法得到1212 ??? nnx,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè)nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對(duì)任意的正整數(shù) k,若 k≥n 恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?????? ??????????? 2 12 12 1|2 )s i n(||2 )!2s i n(||2 )!1s i n(| 2121 ?? nknkn 21)211(21)212121(21 2 ???????? ? 又 nCCC nnnnnn ??????? ?10)11(2 所以nSS nnkn 121|| ???? 六 、 借助數(shù)列遞推關(guān)系 例 : 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 nnnnn anaananna ??????? ?? 2)1(2)1(2 12 11,從而 nnn naana 2)1(2 1 ??? ?,相加后就可以得到 122 1)22(132 1)1(22)1(2 1121 ???????????????? ? nnnnaanaaa nn? 所以 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 例 28. 求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè)nna n 2642 )12(531 ???? ?????? ??則 111 )12(]1)1(2[)1(2 12 ??? ????????? nnnnn aanananna,從而 nnn anana )12(]1)1(2[ 11 ????? ?? ,相加后就可以得到 1122312 1)12(3)12( 1121 ?????????????? ? nnnaanaaa nn? 例 29. 若 1,1 11 ???? ? naaa nn ,求證 : )11(211121 ?????? naaa n? 解析 : nnnnnnn aaaaanaa ????????? ????? 21112 112 所以就有 2122111121121121 ????????????? ?? naaaaaaaaaaa nnnnn? 七 、 分類討論 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 例 }{na 的前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 .1,)1(2 ???? naS nnn 證明：對(duì)任意的整數(shù) 4?m ，有 8711154 ???? maaa ? 解析 :容易得到 ? ?.)1(232 12 ?? ??? nnna, 由于通項(xiàng)中含有 n)1(? ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論： 當(dāng) 3?n 且 n 為奇數(shù)時(shí)1222 2223)12 112 1(2311 2132 12121 ??? ???????? ??? ????? nnn nnnnnn aa )2 12 1(232 2223 1232 12 ??? ?? ?????? nnn nn（減項(xiàng)放縮），于是 ① 當(dāng) 4?m 且 m 為偶數(shù)時(shí) ????maaa11154 ? )11()11(11654 mm aaaaa ????? ?? .878321)2 11(412321)2 12121(2321 4243 ????????????? ?? mm? ② 當(dāng) 4?m 且 m 為奇數(shù)時(shí) ????maaa 111 54 ? 154 111 ????? mm aaa ?（添項(xiàng)放縮）由 ① 知 .871111 154 ????? ?mm aaaa ?由 ① ② 得證。 ?xf 有 2?x , 所以 0)2()( ?? fxf ,所以 2)1ln( ??? xx ,令 12??nx 有 , 1ln 22 ??nn 所以211ln ??? nnn,所以 )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 例 14. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? . FE DCBAn i nyxO 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 解析 : nnnnn annanna )21)1( 11(21))1( 11(1 ?????????, 然后兩邊取自然對(duì)數(shù) ,可以得到nnn anna ln)21)1( 11ln(ln 1 ?????? 然后運(yùn)用 xx ?? )1ln( 和裂項(xiàng)可以得到答案 ) 放縮思路： ?????? nnn anna )2111( 21 ??????? nnn anna ln)2111ln(ln 21 nn nna 211ln 2 ????。 (2)求證 : 3511 2 ???nk k. 解析 :(1)因?yàn)?2 112 1)12)(12( 214 22 ???????? nnnnn,所以12 212 1114 21 2 ???????? n nnknk (2)因?yàn)?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 奇巧積累 :(1) ?????? ??????? 12 112 1214 44 41 222 nnnnn (2))1( 1)1( 1)1()1( 21 21 1 ???????? nnnnnnnCC nn (3) )2(111)1( 1!11)!(! !11 ????????????? rrrrrrnrnr nnCT rrrnr (4)25)1( 123 112 111)11( ??????????? nnn n ? (5)nnnn 2112 1)12(2 1 ???? (6) nnn ???? 221 (7) )1(21)1(2 ?????? nnnnn (8) nnn nnnn 2)32( 12)12( 12132 112 2 1 ????????????? ??? ? (9) ?????? ?????????????? ?????? knnkknnnkknknk 11111)1( 1,11111)1( 1 (10) !)1( 1!1!)1( ???? nnn n (11)212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn (11) )2(12 112 1)12)(12( 2)22)(12( 2)12)(12( 2)12( 2 1112 ??????????????? ??? nnnnn nnn nnn nn n (12) 11 1)1( 1)1( 1)1)(1( 111 23 ???????????? ????????? nnnnnnnnnnnn 11112 111111 ?????????????? ???? nnn nnnn (13) 3212 132122)12(332)13(222 1 nnnnnnnnn ???????????????? (14) !)2( 1!)1( 1)!2()!1(! 2 ???????? ? kkkkk k (15) )2(1)1( 1 ????? nnnnn (15) 111)11)((11 2222 2222 ???? ?????? ??? ??? ji jijiji jiji ji 例 2.(1)求證 : )2()12(2 167)12( 151311 222 ????????? nnn? (2)求證 : nn 41214 1361161412 ?????? ? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk (3)求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? (4) 求證： )112(2131211)11(2 ?????????? nnn ? 解析 :(1)因?yàn)?????? ???????? 12 112 121)12)(12( 1)12( 1 2 nnnnn,所以 )12 131(211)12 131(211)12( 11 2 ??????????? nnini (2) )111(41)1211(414 136116141 222 nnn ??????????? ?? (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn??,再結(jié)合 nnn ???? 221進(jìn)行裂項(xiàng) ,最后就可以得到答案 (4)首先nnnnn ?????? 12)1(21,所以容易經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)得到 nn 131211)11(2 ??????? ? 再證212121212 22)1212(21???????????? nnnnnnn而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以)112(21312