【正文】 3ln2 2ln,2 2 ?? ??????? nn nnn n? ?? ?? ?? ? 解析 :構(gòu)造函數(shù)xxxf ln)( ?,得到22lnln nnnn ???,再進(jìn)行裂項(xiàng))1( 1111ln 22 2 ????? nnnnn,求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : 1ln ??xx , )2(1ln ??? ??? nn 例 :nnn 1211)1l n(113121 ?????????? ?? 解析 :提示 : 2ln1ln1ln1211ln)1l n( ????????????? ?? n nnnn nnnn 函數(shù)構(gòu)造形式 : xxxx 11ln,ln ??? 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮 如圖 ,取函數(shù)xxf 1)( ?, 首先 : ???ninABCF xS1 ,從而 , )ln(ln|ln11 innxxin n innin ?????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln1 ??? nnn, 所以有 2ln21?, 2ln3ln31 ??,…, )1ln(ln1 ??? nnn, nnn ln)1ln(11 ????,相加后可以得到 : )1ln(113121 ?????? nn? 另一方面 ???ninABDE xS1 ,從而有 )ln(ln|ln11 innxxiin n innin ??????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln11 ???? nnn, 所以有nn 1211)1ln( ????? ?,所以綜上有nnn 1211)1ln(113121 ?????????? ?? 例 : en ?????? )!11()!311)(!211( ?和 en ?????? )311()8111)(911( 2?. 解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明 例 : 32)]1(1[)321()211( ??????????? nenn? 解析 :1)1( 32]1)1(ln[ ?????? nnnn,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : )0(13)1ln(1)0(132)1ln( ??????????? xxx xxxx(加強(qiáng)命題 ) 例 : )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 解析 :構(gòu)造函數(shù) )1(1)1()1ln ()( ?????? xxxxf ,求導(dǎo) ,可以得到 : 12111)(39。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項(xiàng)放縮 例 1.(1)求 ?? ?nk k1 2 142 的值 。 ?xf 有 2?x , 所以 0)2()( ?? fxf ,所以 2)1ln( ??? xx ,令 12??nx 有 , 1ln 22 ??nn 所以211ln ??? nnn,所以 )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 例 14. 已知11 2 111, (1 ) .2nnna a ann?? ? ? ??證明 2nae? . FE DCBAn i nyxO 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 解析 : nnnnn annanna )21)1( 11(21))1( 11(1 ?????????, 然后兩邊取自然對(duì)數(shù) ,可以得到nnn anna ln)21)1( 11ln(ln 1 ?????? 然后運(yùn)用 xx ?? )1ln( 和裂項(xiàng)可以得到答案 ) 放縮思路： ?????? nnn anna )2111( 21 ??????? nnn anna ln)2111ln(ln 21 nn nna 211ln 2 ????。2 ??? x xfxxfxg,所以函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) (II)因?yàn)?),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù) ,所以 )()()()(2121 1121 211 1 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? )()()()( 2121 2221 212 2 xxfxx xxfxx xxfx xf ???????? 兩式相加后可以得到 )()()( 2121 xxfxfxf ??? (3) )()()()(2121 1121 211 1 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? )()()()( 2121 2221 212 2 nnn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ?…… )()()()( 212121 21 nnnnn nn n xxxfxxx xxfxxx xxxfx xf ???????????? ???? ??? ? 相加后可以得到 : )()()()( 2121 nn xxxfxfxfxf ??????? ?? 所以 )l n ()(lnlnlnln 2121332211 nnnn xxxxxxxxxxxxxx ??????????? ??? 令2)1( 1nxn ??, 有 ????????? ??????? 22222222 )1l n()1( 14ln413ln312ln21 nn? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk ???????? ????????????? ????? 2222222 )1( 13121ln)1( 1413121 nn ?? ?????? ??????????????? ????? nnn )1( 123 112 1ln)1( 13121 222 ?? )2)(1(2212111 ?????????? ???????? ??? nn nnn 所以 ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? (方法二 ) ?????? ????????? ???? 21114ln)2)(1( 4ln)2)(1( )1l n()1( )1l n( 22 2 nnnnnn nn n 所以)2(2 4ln21214ln)1l n()1( 14ln413ln312ln21 22222222 ???????? ????????? nnnnn? 又1114ln ??? n,所以 ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 例 16.(2020 年福州市質(zhì)檢 )已知函數(shù) .ln)( xxxf ? 若 ).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ), ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? .2021,0)(,ln1)l n (1ln)(.0),l n ()(ln)(,ln)(kxkxk kxxk xxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf????????????????????????????則有令?? ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在）上單調(diào)遞增，在 ]2,0(k上單調(diào) 遞減 . ∴ )(xg 的最小值為 )2(kg，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkkkkkkfkfkg ???????? ,2ln)()( kkfxg ??? 即 .2ln)()()( kkfxkfxf ???? 令 , bxkax ??? 則 .bak ?? .2ln)()()()( babafbfaf ?????? ).()(2ln)()( bfbafbaaf ?????? 三、分式放縮 姐妹不等式 : )0,0( ?????? mabma mbab 和 )0,0( ?????? mbama mbab 記憶口訣 ”小者小 ,大者大 ” 解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號(hào)是小于號(hào) ,反之 . 例 19. 姐妹不等式 : 12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn?和 12 1)211()611)(411)(211( ?????? nn?也可以表示成為 12)12(531 2642 ??????? ??? nn n? ? 和 12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn?? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 解析 : 利用假分 數(shù)的一個(gè)性質(zhì) )0,0( ?????? mabma mbab可得 ???? 12 2563412 n n? ???? nn2 12674523 ? )12(2 1265432 ????? nnn? ? 12)12 2563412( 2 ????? nn n? 即 .12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn? 例 : .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 解析 : 運(yùn)用兩次次分式放縮 : 13 13784512 ???????????? n nnn ?? (加 1) nnnn 3 13784512 ???????????? ?? (加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(13 2387542113 13784512 2 ?????????????????????? ?????? nnnnnnn ??? 所以有 .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 四、分類放縮 例 :212 131211 nn ?????? ? 解析 : ??????????????? ?? )21212121()4141(21112 131211 3333n 2)211(221)212121( nn nnnnn ???????? ? 例 22.(2020 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 ) 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中 , y 軸正半軸上的點(diǎn)列 ??nA 與曲線 xy 2? （ x ≥0）上的點(diǎn)列 ??nB 滿足nOBOA nn 1??，直線 nnBA 在 x 軸上的截距為 na .點(diǎn) nB 的橫坐標(biāo)為 nb , ??Nn . (1)證明 na 1?na 4， ??Nn 。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵214124131 ????,218148171615 ??????,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當(dāng) kn 2? 時(shí) , 12?kTn , 因此，對(duì)任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當(dāng) 222 ?? mn 時(shí) ,必有 AmmTn ????? 12 22. 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對(duì)所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(2020年 中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組??????????nnxyyx3,0,0 表示的平面區(qū)域?yàn)?nD,設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 na .設(shè)nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當(dāng) 2?n 時(shí) ,求證 :36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證12 11721312112 ??????? nS nn ?,因?yàn)閚nnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫 求資料加微信： gzxxzlk 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 . 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1