【正文】 11 ??????? nn? 例 :35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 解析 :一方面 :因?yàn)?????? ???????? 12 112 1214 44111 222 nnnnn,所以 3532112 112 151312111 2 ????????? ?????????? nnknk ? 另一方面 :1111)1( 143 132 11191411 2 ????????????????? n nnnnn ?? 當(dāng) 3?n 時(shí) ,)12)(1( 61 ???? nn nn n,當(dāng) 1?n 時(shí) ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?, 當(dāng) 2?n 時(shí) ,2191411)12)(1( 6 nnn n ??????? ?,所以綜上有 35191411)12)(1( 6 2 ???????? nnn n ? 例 4.(2020 年全國(guó)一卷 ) 設(shè)函數(shù) ( ) lnf x x x x?? .數(shù)列 ??na 滿足 101a??. 1 ()nna f a? ? .設(shè) 1( 1)ba? ， ，整數(shù)11lnabk ?≥.證明 : 1kab?? . 解析 :由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 ??na 是遞增數(shù)列 ,故存在正 整數(shù) km? ,使 bam? ,則 baa kk ???1 ,否則若 )( kmbam ?? ,則由 10 1 ???? baa m 知 0lnlnln 11 ??? baaaaa mmm , ??? ????km mmkkkk aaaaaaa 111 lnln,因?yàn)?)ln(ln11 bakaakm mm ???, 于是 bababakaa k ??????? )(|ln| 11111 例 mmmmm nSxNmn ???????? ? ?321,1, ,求證 : 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn . 解析 :首先可以證明 : nxx n ??? 1)1( 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk ?? ???????? ?????????????nk mmmmmmmm kknnnnn 1 11111111 ])1([01)2()1()1( ?所以要證 1)1()1( 11 ????? ?? mnm nSmn 只要證 : ??? ? ??????????? ?? ??????????????????? nk mmmmmmmmmnk mnk mm kknnnnnkmkk 1 111111111111 11 ])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ ? 故只要證 ???? ???? ?? ???????nk mmnk mnk mm kkkmkk 1 1111 11 ])1[()1(])1([,即等價(jià)于 mmmmm kkkmkk ??????? ??? 111 )1()1()1( ,即等價(jià)于 11 )11(11,)11(11 ?? ???????? mm kkmkkm 而正是成立的 ,所以原命題成立 . 例 nnna 24 ?? ,nnn aaaT ???? ?212 ,求證 : 23321 ????? nTTTT ? . 解析 : )21(2)14(3421 )21(241 )41(4)222(4444 21321 nnnnnnnT ??????????????????? ?? 所以123)2(2 2232234 2323234 2223434 2)21(2)14(34 2 2111111 ????????? ????????????? ?????? nn nnn nnn nnn nnn nnT ?????? ????????? ? 12 112 123)12)(122( 223 1nnnn n 從而2312 112 1713131123 1321 ??????? ????????????? ?nnnTTTT ?? 例 11?x ,??? ??? ???? ),2(1 ),12( Zkknn Zkknnxn,求證 : *))(11(2111 4 1224 544 32 Nnnxxxxxx nn ????????? ?? 證明 : nnnnnnxx nn 2 22 14114 1)12)(12( 11 4 24 244 122 ??????????,因?yàn)? 12 ??? nnn ,所以 )1(2122 214 122 nnnnnxx nn ???????? 所以 *))(11(21114 1224 544 32 Nnnxxxxxx nn ????????? ?? 二、函數(shù)放縮 例 ： )(6 6533 3ln4 4ln3 3ln2 2ln *Nnnnn n ???????? ?. 解析 :先構(gòu)造函數(shù)有xxxxx 11ln1ln ?????,從而 )313121(133 3ln4 4ln3 3ln2 2ln nnn n ?????????? ?? 因?yàn)??????? ???????????? ???????????? ????? nnnn 3112 1219181716151413121313121 ??? 653332 3279189936365 111 nnnnn ????????? ?????????? ???????? ??? ???? 所以 6 65365133 3ln4 4ln3 3ln2 2ln ?????????? nn nnn n? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 例 :(1) )2()1(2 12ln3 3ln2 2ln,2 2 ?? ??????? nn nnn n? ?? ?? ?? ? 解析 :構(gòu)造函數(shù)xxxf ln)( ?,得到22lnln nnnn ???,再進(jìn)行裂項(xiàng))1( 1111ln 22 2 ????? nnnnn,求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : 1ln ??xx , )2(1ln ??? ??? nn 例 :nnn 1211)1l n(113121 ?????????? ?? 解析 :提示 : 2ln1ln1ln1211ln)1l n( ????????????? ?? n nnnn nnnn 函數(shù)構(gòu)造形式 : xxxx 11ln,ln ??? 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮 如圖 ,取函數(shù)xxf 1)( ?, 首先 : ???ninABCF xS1 ,從而 , )ln(ln|ln11 innxxin n innin ?????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln1 ??? nnn, 所以有 2ln21?, 2ln3ln31 ??,…, )1ln(ln1 ??? nnn, nnn ln)1ln(11 ????,相加后可以得到 : )1ln(113121 ?????? nn? 另一方面 ???ninABDE xS1 ,從而有 )ln(ln|ln11 innxxiin n innin ??????? ??? 取 1?i 有 , )1ln(ln11 ???? nnn, 所以有nn 1211)1ln( ????? ?,所以綜上有nnn 1211)1ln(113121 ?????????? ?? 例 : en ?????? )!11()!311)(!211( ?和 en ?????? )311()8111)(911( 2?. 解析 :構(gòu)造函數(shù)后即可證明 例 : 32)]1(1[)321()211( ??????????? nenn? 解析 :1)1( 32]1)1(ln[ ?????? nnnn,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式 : )0(13)1ln(1)0(132)1ln( ??????????? xxx xxxx(加強(qiáng)命題 ) 例 : )1*,(4 )1(1ln5 4ln4 3ln3 2ln ????????? nNnnnn n? 解析 :構(gòu)造函數(shù) )1(1)1()1ln ()( ?????? xxxxf ,求導(dǎo) ,可以得到 : 12111)(39。 (2)證明有 ??Nn0 ，使得對(duì) 0nn?? 都有nnnn bbbbbbbb 112312 ?? ???? ? 2020?n . 解析 :(1) 依題設(shè)有： ? ? ? ?10 , , , 2 , 0n n n n nA B b b bn?? ?????，由 1nOBn?得： 2*22112 , 1 1,n n nb b b n Nnn? ? ? ? ? ? ?,又直線 nnAB在 x 軸上的截距為 na 滿足 ? ? ? ?110 2 0 0n n na b bnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 12nn nba nb? ? 2 2 2 212 1 0 , 2n n n nn b n b b nb? ? ? ? ? ? ?2212 12 2 2 41212 nnnn n nnnnnb n bba b bn b n bn b n b?? ? ? ? ? ? ? ? ???22111 1 2 2 1na nn? ? ? ? ? ? ? 顯然，對(duì)于 1101nn???，有 *1 4,nna a n N?? ? ? (2)證明：設(shè)*11,nn nbc n Nb?? ? ?，則 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?22222222222 2 22211 111111 111 1 111 1 1 111 112 1 2 1 1 1 2 121 1 2 12 1 2 1nn n nn nnn nn n nnn n nnn? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ? ?????? ??? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ? ? ? ? ? 2 *12 1 2 2 1 0 , ,2nn n n n c n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ?? 設(shè) *12 ,nnS c c c n N? ? ? ? ?，則當(dāng) ? ?*2 2 1kn k N? ? ? ?時(shí)， 2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 2n k k k kS ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 21231 1 1 12 2 22 2 2 2k k k? ?? ? ? ? ? ? ? ?。f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解析 : 由已知得 )0(22)( ???? xxxxf， (1)當(dāng) n=1 時(shí)，左式 = 22(2 ) (2 ) 0xxxx? ? ? ?右式 =0.∴ 不等式成立 . (2) 2n? , 左式 = )22(2)22()(2)]([ 11nnnnnnn xxxxxfxf ????????? ?? ).11(221424221 ?????? ????? nnnnnnnnnnn xCxCxCxC ? 令1 2 2 4 2 14211n n n nn n n nnnS C x C x C Cxx? ? ? ???? ? ? ? ? 由倒序相加法得： )1()1()1(2221442221 ??????? ??????? nnnnnnnnnn xxCxxCxxCS ? )22(2)(2 121 ?????? ? nnnnn CCC ?， 所以 ).22( ?? nS 所以 .)22(2)(2)]([ 1 成立?????? ? nnnnn xfxf 綜上，當(dāng) k 是奇數(shù)， Nn ?? 時(shí)，命題成立 例 41. （ 2020 年?yáng)|北三校 ） 已知函數(shù) )1()( ??? axaxf x （ 1）求函數(shù) )(xf 的最小值，并求最小值小于 0 時(shí)的 a 取值范圍； （ 2）令 )1()2()1()( 39。11ln,1lnln,0lnlnln1,0)(lnlnln1)lnl o g()(),lnl o g)lnl o g,()(,lnl o g,0)(lnl o g1,ln1,1ln,0)(,1ln)()1(?????????????????