【正文】 ????????????????的取值范圍是則即若所以上遞增；上遞減，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。 例 a+b=1,a0,b0,求證： .12 nnn ba ??? 解析 : 因?yàn)?a+b=1,a0,b0,可認(rèn)為 ba ,21, 成等差數(shù)列，設(shè) dbda ????21,21， 從而nnnnn ddba ???????? ???????? ??? 122121 例 Nnn ?? ,1 ，求證)2)(1( 8)32( ??? nnn. 解析 : 觀察 n)32( 的結(jié)構(gòu)，注意到nn )211()23( ??，展開(kāi)得 8 6)2)(1(8 )1(212121211)211( 33221 ????????????????? nnnnnCCC nnnn ?， 即8 )2)(1()211( ???? nnn，得證 . 例 :nnn 2ln)211ln(2ln3ln ????. 解析 :參見(jiàn)上面的方法 ,希望讀者自己嘗試 !) 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 例 42.(2020 年北京海淀 5月練習(xí) ) 已知函數(shù) **( ), ,y f x x y? ? ?NN，滿足： ① 對(duì)任意 *,a b a b??N ，都有 )()()()( abfbafbbfaaf ??? ； ② 對(duì)任意 *n?N 都有 [ ( )] 3f f n n? . （ I）試證明： )(xf 為 *N 上的單調(diào)增函數(shù)； （ II）求 )28()6()1( fff ?? ； （ III）令 *(3 ),nna f n??N，試證明： .121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ 解析 :本題的亮點(diǎn)很多 ,是一道考查能力的好題 . (1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性 : 因?yàn)?)()()()( abfbafbbfaaf ??? ,所以可以得到 0)()()()( ???? bfbaafba , 也就是 0))()()(( ??? bfafba ,不妨設(shè) ba? ,所以 ,可以得到 )()( bfaf ? ,也就是說(shuō) )(xf 為 *N 上的單調(diào)增函數(shù) . (2)此問(wèn)的難度較大 ,要完全解決出來(lái)需要一定的能力 ! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足 ,嘗試探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論 ,一發(fā)現(xiàn)就有思路了 ! 由 (1)可知 0))()()(( ??? bfafba ,令 )1(,1 fab ?? ,則可以得到 0))1())1(()(1)(( ??? fffxf ,又 3))1(( ?ff ,所以由不等式可以得到 3)1(1 ??f ,又 *)1( Nf ? ,所以可以得到 2)1( ?f ① 接下來(lái)要運(yùn)用 迭代的思想 : 因?yàn)?2)1( ?f ,所以 3)]1([)2( ?? fff , 6)]2([)( ?? fff , 9)]3([)( ?? fff ② 18)]6([)9( ?? fff , 27)]9([)( ?? fff , 54)]18([)27( ?? fff , 81)]27([)54( ?? fff 在此比較有技巧的方法就是 : 2754275481 ???? ,所以可以判斷 55)28( ?f ③ 當(dāng)然 ,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論 ,所以還可以列項(xiàng)的方法 ,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出來(lái) ,然后就可以得到結(jié)論 . 所以 ,綜合①②③有 )28()6()1( fff ?? = 662955 ??? (3)在解決 }{na 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難 . nnnnnnn aafffffff 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([ 111 ????? ??? , 所以數(shù)列 *(3 ),nna f n??N的方程為 nna 32?? , 從而)311(41111 21 nnaaa ????? ? , 一方面41)311(41 ?? n,另一方面 1222)21(3 1100 ???????? nCC nnnn 所以2412 241)12 11(41)311(41 ????????? n nn nnn,所以 ,綜上有 121 1 1 14 2 4nnn a a a? ? ? ?? ≤ . 例 49. 已知函數(shù) f?x?的定義域?yàn)?[0,1]，且滿足下列條件： ① 對(duì)于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ，且 ??14f ? ； ② 若 1 2 1 20, 0, 1,x x x x? ? ? ?則有 ? ? ? ?1 2 1 2( ) x x f x f x? ? ? ? （ Ⅰ ）求 f?0?的值； （ Ⅱ ）求證： f?x?≤4； （ Ⅲ ）當(dāng)111( , ]( 1,2,3, )33nnxn?? ? ???時(shí)，試證明： ( ) 3 3f x x??. 解析 : （ Ⅰ ）解：令 120xx??， 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 由 ① 對(duì) 于任意 x? [0,1]，總有 ? ? 3fx? ， ∴ (0) 3f ? 又由 ② 得 (0) 2 (0) 3,ff??即 (0) 3。39。 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 例 bxaxf 21 1)( ???，若54)1( ?f，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為21， 求證： .212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 ba, 為正數(shù)，且 111 ??ba，試證：對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba得 baab ?? ，又 42)11)(( ??????abbababa，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因?yàn)?innin CC ?? ，倒序相加得)(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以 )(nf ??? )22( n n2 ，即對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左 ????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? n ， 原結(jié)論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()(2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經(jīng)過(guò)倒序相乘 ,就可以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ??,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????????????? knknkk knkn kknkknknkk 其中 : nk 2,3,2,1 ?? ,因?yàn)?nknkknknkknk 2)12(0)2)(1(2)1(2 ???????????? 所以 22)12 112)(1( ???????? nknknkk 從而 nnnffff 22 )22()]2()3()2()1([ ?????? ?,所以 nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ?. 例 7?k ,求證 : 231121111 ????????? nknnnSn ?. 解析 : )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknSn ??????????????? ? 因?yàn)楫?dāng) 0,0 ?? yx 時(shí) ,xyyxxyyx 211,2 ????,所以 4)11)(( ???yxyx,所以yxyx ??? 411,當(dāng)且僅當(dāng) yx? 時(shí)取到等號(hào) . 所以1)1(41432 421 4142 ?? ????????????????? nkn knnknnknnknnknS n ? 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 所以231421 )1(211 )1(2 ????????? ?? kkknkkS n所以231121111 ????????? nknnnS n ? 例 ))(()( 21 xxxxaxf ??? ,求證 :16)1()0( 2aff ??. 解析 :16)]1()][1([)1()0( 222112 axxxxaff ?????. 例 f(x)=x2－ (－ 1)k)(39。 更多關(guān)注 高中學(xué)習(xí)資料庫(kù) 求資料加微信： gzxxzlk 2020 高考數(shù)學(xué) 備考之 放縮技巧 證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。 xfxfx ?? 在 0?x 上恒成立 . (I)求證：函數(shù) ),0()()( ??? 在xxfxg上是增函數(shù)； (II)當(dāng) )()()(:,0,0 212121 xxfxfxfxx ????? 證明時(shí) ； (III)已知不等式 01)1ln( ????? xxxx 且在 時(shí)恒成立， 求證： ).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 解析 :(I) 0)()(39。 解析 :由 22221 ( 2 ) ( 1)( ( ) )( (1) 1)2 2 ( 2 )xxf x f x? ? ?? ? ? ?知 1( ( ) )( (1) 1) 02f x f? ? ? 即 1 ( ) 12 fx? ? ? 由此 再由 ()fx的單調(diào) 性可以知道 ()fx的最小值為 12?，最大值為 1 因此 對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?的充要條件是， 1332abab?? ?? ? ????? ? ? ?? 即 a ， b 滿足約束條件331 321 32abababab? ?????????? ? ????? ? ???， 由線性規(guī)劃得， ab? 的最大值為 5． 九 、 均值不等式放縮 例 .)1(3221 ??????? nnS n ?求證 .2 )1(2 )1( 2???? nSnn n 解析 : 此數(shù)列的通項(xiàng)為 .,2,1,)1( nkkka k ???? 212 1)1( ??????? kkkkkk?， )21(11 ?? ?? ???? nknnk kSk， 即 .2 )1(22 )1(2 )1( 2??????? nnnnSnn n 注： ① 應(yīng)注意把握放縮的 “度 ”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式2baab ??，若放成 1)1( ??? kkk 則得2 )1(2 )3)(1()1( 21 ??????? ?? nnnkS nkn，就放過(guò) “度 ”了！ ② 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所