【正文】 設(shè) X是隨機(jī)變量 ， 如果存在定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的函數(shù) f(x)， 滿足條件 9 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 概率密度函數(shù)的性質(zhì) 1) 0)( ?xf2) ? ??? ? 1)( dxxfaSb?1 xo )(xf 這兩條性質(zhì)是判定一 個(gè)函數(shù) f(x)是否為某 個(gè)隨機(jī)變量 X的概率 密度函數(shù)的充要條件 3) X落入?yún)^(qū)間［ a,b］內(nèi)的概率＝ ? ba dxxf )(10 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差 1. 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2. 方差 ??? ? ????xxxfXE d)()( 22 d)()( )]([ ??? ? ????? xxfXD XEx11 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 正態(tài)分布 (normal distribution) 1. 正態(tài)分布是最重要的一種 概率分布 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 第 3 章 概率分布與抽樣分布 1 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 第 3 章 概率分布與抽樣分布 隨機(jī)變量 正態(tài)分布 常用的抽樣方法 抽樣分布 中心極限定理的應(yīng)用 2 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 隨機(jī)變量 (random variables) 隨機(jī)事件 的 數(shù)值性描述 例如：拋硬幣的結(jié)果，正面定義為 1，反面定義為 0 X， Y， Z 來(lái)表示 離散型隨機(jī)變量： 數(shù)軸上可列個(gè)孤立的點(diǎn) 連續(xù)型隨機(jī)變量： 數(shù)軸上一個(gè)或多個(gè)區(qū)間 3 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 離散型隨機(jī)變量 1. 隨機(jī)變量 X 取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉 出來(lái) x1 , x2， … 2. 以 確定的概率 取這些不同的值 3. 離散型隨機(jī)變量的一些例子 4 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 連續(xù)型隨機(jī)變量 1. 連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值 2. 它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于 0 3. 不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率 4. 通常研究它 取某一區(qū)間值的概率 5. 用 概率密度函數(shù) 和 分布函數(shù) 的形式來(lái)描述 5 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 定義 設(shè) X是一隨機(jī)變量， X是任意實(shí)數(shù) ，則實(shí)值函數(shù) F(x)＝ P {X?x}， x∈( ∞ ， +∞) 稱為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) 。正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家 (Carl Friedrich Gauss，1777— 1855)和天文學(xué)家 Moivre于 1733年首次提出的，但由于 Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。)4 處有拐點(diǎn)曲線在 σμx ??15 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 。對(duì)這種關(guān)系的研究從兩方面著手： 一是從總體到樣本 ，這就是研究 抽樣分布(sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是 統(tǒng)計(jì)推斷(statistical inference)問題?，F(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為 n的樣本，樣本平均數(shù)記為 。 當(dāng)兩個(gè)樣本都為大樣本時(shí) , 兩個(gè)樣本的比例差的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其分布的均值和方差為 51 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS （六）兩個(gè)樣本方差比的分布 1. 兩 個(gè)總體都為正態(tài)分布 ， 即 X1~N(μ1 ,σ12)， X2~N(μ2 ,σ22 ) 2. 從兩 個(gè)總體中分別抽取容量為 n1和 n2的獨(dú)立樣本 3. 兩 個(gè)樣本方差比的抽樣分布 ， 服從分子自由度為(n11)， 分母自由度為 (n21) 的 F分布 ， 即 )1,1(~ 2122222121 ?? nnFss??F分布 52 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 中心極限定理 (central limit theorem) ? 中心極限定理： ? 設(shè)從均值為 ?，方差為 ? 2的一個(gè) 任意總體 中抽取容量為 n的樣本， 當(dāng) n充分大時(shí) 樣本均值的抽樣分布近似服從均值為 μ方差為 σ2/n的 正態(tài)分布 53 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 樣本均值的抽樣分布 與中心極限定理 ? = 50 ? =10 X 總體分布 n = 4 抽樣分布 x n =16 5?x? 50?x? ?x?當(dāng)總體服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)時(shí) ， 來(lái)自該總體的所有容量為 n的樣本的均值 ?x也服從正態(tài)分布 ， ?x 的數(shù)學(xué)期望為 μ， 方差為 σ2/n。 隨著自由度的增大 ， 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 61 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS t ν─ ∞ ( 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 )ν = 5ν = 1f (t )? ? 2)1(2 )/1()2(2)1()( ??????? ?????? ttf不同自由度下的 t 分布圖 62 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS t分布的特征 ① 以 0為中心，左右對(duì)稱的單峰分布； ② t分布曲線是一簇曲線，其形態(tài)變化與自由度的大小有關(guān)。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù) μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異，即抽樣誤差 (sampling error)。 樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異稱為抽樣誤差 （ sampling error）。)5( 軸為漸近線曲線以 x16 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS .,)(,)7(圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對(duì)稱軸的大小時(shí)改變當(dāng)固定σσxfσμ17 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 00 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4Xf ( X ))1,0( 2N ),1( 2?N ),1( 2Nμ決定曲線的位置， σ決定曲線的“胖瘦” 統(tǒng)