【正文】 【分析】 由已知可得： b2=2a+a2，又由余弦定理可得： b2=a2+4﹣ 4acosB，整理可得： a= ，由范圍 B∈ （ 0， ），可求 cosB∈ （ 0， 1），進而可求 a 的范圍． 【解答】 解： ∵ b2﹣ a2=ac， c=2，可得： b2=2a+a2， 又 ∵ 由余弦定理可得： b2=a2+c2﹣ 2accosB=a2+4﹣ 4acosB， ∴ 2a+a2=a2+4﹣ 4acosB，整理可得： a= ， ∵ B∈ （ 0， ）， ∴ cosB∈ （ 0， 1） ，可得： 2+4cosB∈ （ 2， 6）， ∴ a= ∈ （ ， 2）． 故答案為：（ ， 2）． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．?dāng)?shù)列 {an}滿足 a1=1， a2=5， an+2=2an+1﹣ an+1 （ 1）設(shè) bn=an+1﹣ an，證明 {bn}是等差數(shù)列，并求 {bn}的通項公式； （ 2）設(shè) =tanbn?tanbn+1，求數(shù)列 {}的前 n 項和 Sn． 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】 （ 1）將 an+2=2an+1﹣ an+1 變形為： an+2﹣ an+1=an+1﹣ an+1，再由條件得 bn+1=bn+1，根據(jù)條件求出 b1，由等差數(shù)列的定義證明 {bn}是等差數(shù)列，由通項公式可得所求； （ 2）求得 =tanbn?tanbn+1=tan（ n+3） ?tan（ n+4），由兩角差的正切公式可得tan[（ n+4）﹣（ n+3） ]= ，可得 tan（ n+3） ?tan（ n+4）= ﹣ 1，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和． 【解答】 解：（ 1）證明：由 an+2=2an+1﹣ an+1 得， an+2﹣ an+1=an+1﹣ an+1， 由 bn=an+1﹣ an 得， bn+1=bn+1， 即 bn+1﹣ bn=1， 又 b1=a2﹣ a1=5﹣ 1=4， 所以 {bn}是首項為 4，公差為 1 的等差數(shù)列． 且 bn=b1+（ n﹣ 1） d=4+n﹣ 1=n+3； （ 2） =tanbn?tanbn+1=tan（ n+3） ?tan（ n+4）， 由 tan[（ n+4）﹣（ n+3） ]= ， 可得 tan（ n+3） ?tan（ n+4） = ﹣ 1， 即有數(shù)列 {}的前 n項和 Sn= + +… + ﹣ n = ﹣ n． 18． 2020 年 11 月 20 日﹣ 22 日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國際馬拉松賽事，賽后某機構(gòu)用 “10 分制 ”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運動員，政 府官員，組織者，志愿者等）對此項賽事的滿意度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取 16 名，如圖莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）： （ 1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （ 2）若滿意度不低于 分，則稱該被調(diào)查者的滿意度為 “極滿意 ”．求從這 16人中隨機選取 3 人，至多有 1 人是 “極滿意 ”的概率； （ 3）以這 16 人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體（人數(shù)很多）任選 3 人，記 ξ 表示抽到 “極滿意 ”的人數(shù)，求 ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【考點】 離散型隨機變量的期望與 方差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機變量及其分布列． 【分析】 （ 1）出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是 ，按從小到大排列，位于中間的兩位數(shù)是87， 88，由此能求出眾數(shù)和中位數(shù) （ 2）由莖葉圖可知，滿意度為 “極滿意 ”的人有 4 人．設(shè) Ai表示所取 3 人中有 i個人是 “極滿意 ”，至多有 1 人是 “極滿意 ”記為事件 A， p（ A） =p（ A0） +p（ A1）； （ 3）從 16 人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取 1 人，抽到 “極滿意 ”的人的概率為 ，故依題意可知，從該顧客群體中任選 1 人，抽到 “極滿意 ”的人的概率 p= ． 由題可知 ξ～ B（ 3， ）， 即可求 ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ 1）出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是 ，按從小到大排列，位于中間的兩位數(shù)是 87， 88，由此能得出眾數(shù)和中位數(shù)．眾數(shù)： ；中位數(shù)： …2 （分） （ 2）由莖葉圖可知，滿意度為 “極滿意 ”的人有 4 人． 設(shè) Ai表示所取 3 人中有 i 個人是 “極滿意 ”，至多有 1 人是 “極滿意 ”記為事件 A， p（ A） =p（ A0） +p（ A1） = （ 3）從 16 人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取 1 人，抽到 “極滿意 ”的人的概率為 ， 故依題意可知，從該顧客群體中任選 1 人，抽到 “極滿意 ”的人的概率 p= ． ξ 的可能取值為 0， 1， 2， 3， p（ ξ=0） =（ ） 3= ； p（ ξ=1） = ； p（ ξ=2） = ； p（ ξ=3） =（ ） 3= 所以 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 p Eξ= ． 另解：由題可知 ξ～ B（ 3， ），所以 Eξ= 19．如圖，在棱臺 ABC﹣ FED 中， △ DEF 與 △ ABC 分別是棱長為 1 與 2 的正三角形，平面 ABC⊥ 平面 BCDE，四邊形 BCDE 為直角梯形， BC⊥ CD， CD=1，點 G 為 △ ABC 的重心， N 為 AB 中點， =λ （ λ∈ R， λ＞ 0）， （ 1）當(dāng) 時，求證： GM∥ 平面 DFN； （ 2）若直線 MN 與 CD 所成角為 ，試求二面角 M﹣ BC﹣ D 的余弦值． 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ 1）連 AG 延長交 BC 于 P，推出 ，證明 GM∥ PF；然后證明 NP∥ AC，推出 NP∥ DF，然后證明 GM∥ 平面 DFN． （ 2）連接 PE，以 P 為原點， PC 為 x 軸， PE 為 y 軸， PA 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面 MBC 的法向量，平面 BCD 的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角 M﹣ BC﹣ D 的余弦值即可． 【解答】 解：（ 1）連 AG 延長 交 BC 于 P， 因為點 G 為 △ ABC 的重心，所以 又 ，所以 ，所以 GM∥ PF； …3 （分） N 為 AB 中點， P 為 BC 中點， NP∥ AC，又 AC∥ DF， 所以 NP∥ DF，得 P、 D、 F、 N 四點共面 ∴ GM∥ 平面 DFN…6 （分） （ 2）平面 ABC⊥ 平面 BCDE， AP⊥ BC， ∴ AP⊥ 平面 BCDE，連接 PE，易得PE⊥ BC， 以 P 為原點， PC 為 x 軸， PE 為 y 軸， PA 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè) M （ x ， y ， z ）， ∵ ， ∴ ， 因為 MN 與 CD 所 成 角 為 ，所以， 得 2λ2+λ﹣ 1=0， ∴ ， ∴ ， …8 （分） 設(shè) 平面 MBC 的法向量 ，則 ，取 ， 平面 BCD 的法向量 ，所以二面角 M﹣ BC﹣ D 的余弦值 …12 （分） 20．已知橢圓 C： + =1（ 0＜ b＜ 3）的左右焦點分別為 E， F，過點 F 作直線交橢圓 C 于 A， B 兩點，若 且 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知圓 O 為原點，圓