【正文】 型形式，那么該MA模型稱為可逆 MA模型 一個自相關(guān)系數(shù)列唯一對應(yīng)一個可逆 MA模型。 37 三、 ARMA(2， 1)模型的其他特殊情形 (1， 1) 當(dāng) ARMA(2， 1)中的系數(shù) 時，有 02 ?? tttt aaXX ??? ?? 1121 ??即為 ARMA(1， 1)模型。 41 六、 ARMA (n,n1)模型的合理性 第二、理論依據(jù)：用 Hilbert空間線性算子的基本理論可以 證明，對于任何平穩(wěn)隨機系統(tǒng)，我們都可以用一個 ARMA(n,n1) 模型近似到我們想要達到的程度；用差分方程的理論也可以證明， 對于 n階自回歸， MA模型的階數(shù)應(yīng)該是 n1。 22?P r 22?P r kkknnnn????? ? ? ???????? ? ? ?????三、參數(shù)估計 ? 待估參數(shù) 非中心化 ARMA(P,q)模型有 個未知參數(shù) ? 常用估計方法 ? 矩估計 ? 極大似然估計 ? 最小二乘估計 2pq?? 211, , , , , , ,pq ?? ? ? ? ? ? ? 原理 ? 樣本自相關(guān)系數(shù)估計總體自相關(guān)系數(shù) ? 樣本一階均值估計總體均值，樣本方差估計總體方差 1 1 1 111?( , , , , , )?( , , , , , )pqp q p q p q? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ?? 1?niixxn? ????22212212 ???1??1? xqp ??????? ????????? ? 原理 ? 在極大似然準(zhǔn)則下，認(rèn)為樣本來自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。~(m ax{)~,。 第三、從連續(xù)系統(tǒng)離散化過程來看， ARMA(n,n1) 也是合 理的。 38 (1) 模型 當(dāng) ARMA(2， 1)中的 時，有 012 ?? ?? ttt aXX ?? ? 11?即為 AR(1)模型。 31 一、 ARMA(2， 1)模型 ta1. ta對 2?tX和 1a的相關(guān)性 由于 AR(1)模型： tttaXX ?? ? 11?已不是適應(yīng)模型，即 與 2?tX 1?ta和 不獨立，所以，這里的剩余 不是我們所假設(shè)的 tat，將其記作 ,將其分解為 : ta? tttt aaXa ???? ?? 1122 ??將上式代入 AR(1)模型，得 1 1 2 2 1 1t t t t tX X X a a? ? ?? ? ?? ? ? ?這就是 ARMA(2,1)模型。 AR模型平穩(wěn)性判別方法 ? 特征根判別 ? AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的 p個特征根都在單位圓內(nèi) ? 根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外 。 19 一、 tata 2?tX的依賴性 對 ta 2?tX當(dāng) AR(1)模型中的 與 不獨立時 ,我們將 記為 ,于是 ta?ta?可以分解為 22t t ta X a? ?? ??() 從而 ()式的形式變?yōu)? tttt aXXX ??? ?? 2211 ??() 可見， tX與 1?tX和 2?tX有關(guān)，所以 ()式是一個 AR(2)模型。 一般地 k階差分記作 tk X?差分可以使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。 11 點 AR(1)模型也把 tX分解為獨立的兩部分：一是依賴于 1?tX的部分 11 ?tX?；二是與 1?t不相關(guān)的部分 ta(獨立正態(tài)同分布序列 ) 12 2. AR(1)與普 通一元線性回歸的區(qū)別 : (1)普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應(yīng)的觀測值； AR(1)模型只需要一組隨機變量的觀測值。這里講的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，其特性是序列的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化，即均值和協(xié)方差不隨時間的平移而變化。 (4)二者的假定不同。 15 ? 一階自回歸模型 AR（ 1） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 2 . 52 1 . 51 0 . 500 . 511 . 52ttt yy ??? ? 16 ? AR（ 1）模型的特例 —— 隨機游動 ttt yy ??? ? 1 ? ?2,0~ ??? WNt0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 2 1 0864202417 形式 的特性： (1)系統(tǒng)具有極強的一期記憶性，即慣性。 這就是 AR(2)模型的兩個基本假設(shè)。 25 一、一階移動平均模型： MA(1) tX對于一個 MA系統(tǒng)來說，如果系統(tǒng)的響應(yīng) tX刻進入系統(tǒng)的擾動 僅與其前一時 1?ta 存在一定的相關(guān)關(guān)系，我們就得到模型 : 11t t tX a a? ???其中： ta為白噪聲。 34 的獨立化過程 將 ARMA(2,1)模型如下變形： 112211 ??? ???? ttttt aXXXa ???可見， ARMA(2,1)是通過從 tX中消除 tX對 21, ?? tt XX以及 1?ta的依賴性之后，使得相關(guān)序列 t轉(zhuǎn)化成為獨立序列 ta，即它 是一個使相關(guān)序列轉(zhuǎn)化為獨立序列的變換器。按照這種思 想，一直如此類推下去，便可得到 ARMA(n,n1)模型 : 111111 ?????? ??????? ntnttntntt aaaXXX ??