第2講向量的數(shù)量積(完整版)
【正文】 ），=（b1，b2），求證：△ABC的面積S△=|a1b2－a2b1|.證明：（1）設(shè)a、b的夾角為θ，△ABC的面積S△=||||sinθ=|a||b|sinθ.∵sin2θ=1－cos2θ=1－（）2，∴S△2=（|a||b|）2sin2θ=（|a||b|）2［1－（）2］=［（|a||b|）2－（ab=+（－1）=0.（2）解：∵x⊥y，∴x=||||cos（π－∠B）+0+||||cos（π－∠A）=－4.答案：－4（－1，0），F(xiàn)2（1，0），A（，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足3+3c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b（λa）+cb=－60.∴cos〈a，b〉==－.又0176。.同理∠P1OP3=∠P2OP3=120176。b）c是與c共線的向量，a（bc）對(duì)任意向量a、b、c都成立；（4）對(duì)任一向量a，有a2=|a|2.剖析：（1）（2）可由數(shù)量積的定義判斷.（3）通過(guò)計(jì)算判斷.（4）把a(bǔ)2轉(zhuǎn)化成a－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0.∴（|a|－6）b=x1x2+y1y2；（2）|a|=；（3）cos〈a，b〉=；（4）a⊥bab=bb等于a的模與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.：設(shè)e是單位向量，〈a，e〉=θ.（1）e）叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉.（2）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作aa=|a|2，或|a|=.（3）a⊥bac=a|b|=4，（a+2b）b=ac，則|a||b|cosα=|a||c|cosβ（α、β為a與b，a與c的夾角）.∴|a|（|b|cosα－|c|cosβ）=0.∴|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ.當(dāng)b≠c時(shí)，|b|cosα與|c|cosβ可能相等.∴（2）不正確.（3）（a有最小值－8，此時(shí)=（4，2）.（2）當(dāng)=（4，2），即y=2時(shí)，有=（－3，5），=（1，－1）.∴||=，||=.∴cos∠AXB==－.評(píng)述：（1）中最值問(wèn)題不少都轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用.【例3】 已知向量、滿足++ =0，||=||=||=1.求證：△P1P2P3是正三角形.剖析：由||=||=||=1知O是△P1P2P3的外接圓的圓心，要證△P1P2P3是正三角形，只需證∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1即可，即需求與，與，++=0變形可出現(xiàn)數(shù)量積，進(jìn)而求夾角.證明：∵++=0
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