微分方程與微分方程建模法(完整版)
【正文】 [6]。 上述模型對(duì)單種群群體規(guī)模的變化規(guī)律是很好地描述。 1）常微分方程模型 設(shè)為時(shí)刻人口總數(shù)， 為人口的增長率，其中分別為出生率與死亡率，他們可以是的函數(shù)。如果能近似的標(biāo)示為[a, b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在t處的值與的乘積，我們就把稱為量的微元且記作。 例如在考古學(xué)中，為了測定某種文物的絕對(duì)年齡，我們可以考察其中的放射性物質(zhì)（如鐳、鈾等），已經(jīng)證明其裂變速度（單位時(shí)間裂變的質(zhì)量，即其變化率）與其存余量成正比。對(duì)于高空下落的物體，我們可以利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型，設(shè)物體質(zhì)量為m，空氣阻力系數(shù)為，在速度不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設(shè)時(shí)刻t時(shí)物體的下落速度為，初始條件：。 這就需要我們仔細(xì)分析題目，明確題意，找出其中的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。7． 差分方程。分離變量法：（1）可分離變量方程： (2) 齊次方程： 常數(shù)變易法：(1) 線性方程， (2) 伯努里方程，積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。其中還包括了常微分方程的基本定理。4． 常微分方程的基本定理：常微分方程的幾何解釋（線素場），初值問題解的存在與唯一性定理（條件與結(jié)論），求方程的近似解（歐拉折線法與畢卡逐次逼近法），解的延展定理與比較定理、唯一性定理證明解的存在區(qū)間（如為左右無窮大），奇解與包絡(luò)線，克萊羅方程。其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。例如從幾何觀點(diǎn)看，曲線y=y(x)上某點(diǎn)的切線斜率即函數(shù)y=y(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：f=ma,其中加速度a就是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；電學(xué)中的基爾霍夫定律等。函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。4．利用微元法建立微分方程模型。5．熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。1837（8）年，荷蘭生物學(xué)家P。此處還隱含假定所有人的年齡不能超過m組的年齡。 7。記時(shí)段第i年齡組的種群數(shù)量為，記時(shí)段種群各年齡組的分布向量為則我們可以建立人口增長的差分方程模型為此處L為已知矩陣。Verhulst修改了上述模
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