微分方程習(xí)題(附答案)(完整版)
【正文】 得其中4． 求下列微分方程的特解（1）；解：原方程化為，令則，故原方程變?yōu)?，分離變量得兩邊積分，即，得其中，由得，故特解為（2）.解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為5． 用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程（1）；解：令則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（2）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，即得，得，即，其中故方程通解為（，其中）（3）解：，則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分得故方程通解為（4）解：則，原方程變?yōu)?，分離變量并積分，得，即其中（分析原方程可變形為，故令）（，其中）6． 求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解：曲線點(diǎn)P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點(diǎn)記為B，則B坐標(biāo)為，過點(diǎn)P（x, y）平行于軸的直線和軸交點(diǎn)記為A，則A坐標(biāo)為故三角形面積為即有微分方程當(dāng)時(shí)用分離變量法解得當(dāng)時(shí)用分離變量法解得7． 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時(shí)速度為0，求物體速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.8． 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，試求注射染色后分鐘時(shí)正常胰臟中染色量隨時(shí)間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=,便可求出 p(t)=(30)=然后與實(shí)測比較知,此人胰臟不正常.，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時(shí)又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時(shí)后，容器內(nèi)尚有多少鹽？解：設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽，由于時(shí)刻容器內(nèi)液體為：100+，因此時(shí)刻容器內(nèi)濃度為：.于是在時(shí)刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為：初始化條件為: 167。8 歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組1． 求下列微分方程的通解 （1）；（2）.2．求下列微分方程組的通解（1）（2） 自測題1． 求下列微分方程的解（1）；解：令則，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程，分離變量積分即，得，故原方程通解為（2）；解：原方程變形為伯努力方程令，則化為線性方程故得，故法二：；（3）；；（4）.2．求連續(xù)函數(shù)，使得時(shí)有.解：由題意有， 即為線性齊次方程故（注令，則變?yōu)?）3．求以為通解的二階微分方程.4．某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和，求..5．設(shè)有一個(gè)解為，對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解，試求：（1）的表達(dá)式；（2）該微分方程的通解.；6．已知可導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式： 求.解：由題意得即分離變量積分得由得，故，即7．已知曲線上原點(diǎn)處的切線垂直于直線，且滿足微分方程，求此曲線方程. 。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故
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