微分方程習(xí)題(附答案)-全文預(yù)覽
【正文】 ；（4）.2．求連續(xù)函數(shù)，使得時(shí)有.解：由題意有， 即為線(xiàn)性齊次方程故（注令，則變?yōu)?）3．求以為通解的二階微分方程.4．某個(gè)三階常系數(shù)微分方程 有兩個(gè)解和，求..5．設(shè)有一個(gè)解為，對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解，試求：（1）的表達(dá)式；（2）該微分方程的通解.；6．已知可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式： 求.解：由題意得即分離變量積分得由得，故，即7．已知曲線(xiàn)上原點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，且滿(mǎn)足微分方程，求此曲線(xiàn)方程. 。6 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程1． 求下列微分方程的通解（1）；（2）；（3）；（4）.解：特征方程為，即得即特征方程為有二重共軛復(fù)根故方程通解為2．求下列微分方程的特解（1）（2）（3），質(zhì)量為，開(kāi)始時(shí)偏移一個(gè)小角度，然后放開(kāi)，求角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.解：在時(shí)刻，P點(diǎn)受力中垂直于擺的分量為： ，如圖：Pmg，故有.從而方程為：，初始條件：，解得通解為：特解為：4. ，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開(kāi)，浮筒在水中上下震動(dòng)，周期為2s，求浮筒質(zhì)量.解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，O取圓筒在平衡時(shí)（此時(shí)重力與浮力相等）筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)筒在上下振動(dòng)時(shí)該點(diǎn)位移為，：.由此可得振動(dòng)方程：該方程的通解為根據(jù)周期為，獲得解出 .，設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，鏈條自桌上垂下部分長(zhǎng)為1m，問(wèn)需多少時(shí)間鏈條全部滑過(guò)桌面.解：坐標(biāo)系如圖，原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn)，鏈條滑過(guò)的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系，O于是,由 ， 觀(guān)察得一特解：，于是通解為：求，由，得：＝ 167。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故即（分部積分法：）（5）解：兩邊同乘得，即，故令，則原方程變?yōu)楣剩吹眉丛匠掏ń鉃椋ㄓ梅植糠e分法積分）2．求下列微分方程的特解（1）；解： (2)解：3．一 曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，在處切線(xiàn)斜率為，求該曲線(xiàn)方程.解：由題意可得：于是：由得，故曲線(xiàn)方程為4．設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足方程，求.解：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題該微分方程為線(xiàn)性微分方程故又得，故5．設(shè)有一個(gè)由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開(kāi)關(guān)，求電路中電流和時(shí)間之關(guān)系.解：由及可得：?jiǎn)栴}為初值問(wèn)題該微分方程為線(xiàn)性微分方程故又得，故（分部積分法積）6．求下列貝努利方程的通解 (1) 解：原方程變形為，令，則，故原方程變?yōu)榫€(xiàn)性微分方程故貝努利方程的通解為（2）原方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€(xiàn)性微分方程故貝努利方程的通解為（3）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€(xiàn)性微分方程故貝努利方程的通解為，即（4）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€(xiàn)性微分方程故貝努利方程的通解為 167。故法線(xiàn)x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為，又PQ為y軸平分
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