【正文】 Ω。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們很關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　　　?2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(diǎn)(相同的只計(jì)入一次)組成的新事件稱為A與B的并，記為AUB。　　兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容，例如在檢查三個(gè)產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個(gè)互不相容事件?！　‖F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個(gè)樣本點(diǎn)。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω?！　∫?、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象?！　颖痉讲钫乃阈g(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)?！　∨c均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響。　　三、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。這是因?yàn)榉纸M是等距的。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值?！　　瞉食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計(jì)算它們的差R=xmaxxmin，R稱為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍?！　]從一個(gè)工廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個(gè)燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個(gè)燈泡的使用壽命為(單位為小時(shí)):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8。在上例中，這批燈泡中的每個(gè)特定的燈泡都是一個(gè)個(gè)體。在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對(duì)象的全體稱為總體。通過對(duì)樣本的觀測(cè)來對(duì)總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計(jì)的核心?！　榱搜芯繑?shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理?！　∶恳唤M的區(qū)間長(zhǎng)度，稱為組距?！　?4)計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表?！　∪绻悦拷M的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱為累積頻率直方圖。在確定樣本中位數(shù)時(shí)，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)。對(duì)離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會(huì)正負(fù)相抵，無法反映分散的真實(shí)情況。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù)，有時(shí)也稱之為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購買的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間；　　(4)一顆麥穗上長(zhǎng)著的麥粒個(gè)數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來市場(chǎng)的占有率；　　(6)一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量?！　?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　ˇ?{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋。顯然，對(duì)任一事件A，有ΩAφ?？梢娋褪恰癆不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個(gè)疵點(diǎn)”的對(duì)立事件是“沒有疵點(diǎn)”?！　　　?4)事件A對(duì)B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對(duì)B的差，記為AB?！　∩鲜稣娉霈F(xiàn)的機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個(gè)班次，火車有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。　　(5)組合:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個(gè)組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個(gè)合格品中抽取，這有　　種取法。　　假如給定N=10，M=2和n=4，下面來計(jì)算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)。　　于是諸Bm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個(gè)互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。條件概率的計(jì)算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無條件)概率之商來計(jì)算，在舉例說明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。　　類似地，利用這個(gè)解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個(gè)概率是很小的。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。滿足這兩個(gè)條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。　　　　這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時(shí)間，或發(fā)生故障后需要維修的時(shí)間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)?！　》讲钣脕肀硎痉植嫉纳⒉即笮?，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中?！　　瞉看圖識(shí)方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)?！　?從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的?！　?2)n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即一次試驗(yàn)結(jié)果不對(duì)其他次試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。從此圖上可以看出分布的形態(tài)，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小。　　(1)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生1起重大事故的概率為:　　類似地也可計(jì)算X取其他值的概率，現(xiàn)羅列于如下分布列中:　　　　對(duì)泊松分布來說，X可以取8，9，…等值?！　〗?按題意知，X服從超幾何分布h(n，N，M)，其中N=20，M=5，n=8，r=min(n，M)=5，所求的分布為:　　當(dāng)X=0時(shí)，可算得:　　X=1時(shí)，可算得:　　類似可算得X=2，3，4，5的概率?！　」潭?biāo)準(zhǔn)差σ時(shí)，不同的均值，如μ1μ2，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，(a)。根據(jù)u的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(附表11)上查得，例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得　　P(U≤)=Φ()=　　，()。　　(2)(0，1)，也稱為90%分位數(shù)或90百分位數(shù)?！　　　‖F(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計(jì)算?！　　　「鶕?jù)性質(zhì)2中(3)，讓區(qū)間端點(diǎn)隨著標(biāo)準(zhǔn)化變換而變化，最后可得:　　　　從這個(gè)例子可以看到標(biāo)準(zhǔn)化變換在正態(tài)分布計(jì)算中的作用，數(shù)不清的各種正態(tài)分布計(jì)算都可通過一張標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵在于標(biāo)準(zhǔn)化變換?，F(xiàn)從現(xiàn)場(chǎng)得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=，標(biāo)準(zhǔn)差σ=。kσ，其中k為某個(gè)實(shí)數(shù)，則有:　　合格品率=P(|Xμ|≤kσ)=2Φ(k)1；　　不合格品率=P(|Xμ|kσ)=2〔1Φ(k)]；　　對(duì)k=1，2，3，4，5，6，可通過查附表12算得上述各種概率，其中不合格品率用ppm(106)單位表示，特別過小的不合格品率更是如此?！　　　?3)最重要的特征是:若隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對(duì)數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對(duì)數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對(duì)數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對(duì)數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對(duì)數(shù)變換后為正態(tài)變量。中心極限定理表明，當(dāng)n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。　　再來討論樣本，一個(gè)樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)樣本觀測(cè)值x1，x2，…，xn可以看成為隨機(jī)變量X的n次實(shí)現(xiàn)值?！　?2)獨(dú)立性。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對(duì)集中些。　　不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當(dāng)n大時(shí)，近似N(μ，σ2/n)。當(dāng)自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大?！　「鶕?jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)基本內(nèi)容。例如二項(xiàng)分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對(duì)p進(jìn)行了估計(jì)，均值的估計(jì)也就完全解決了。但是我們可以通過多次抽樣，對(duì)不同樣本，的不同具體估計(jì)值，對(duì)實(shí)際偏差θ進(jìn)行“平均”。　　()式中的第二項(xiàng)表示的是對(duì)其均值E()差的平方的均值，稱為估計(jì)量的方差。例如對(duì)任何總體，樣本均值對(duì)總體均值μ的估計(jì)總是無偏的，樣本方差s2對(duì)總。方差愈小，估計(jì)量就更有效。與以前對(duì)方差處理的方法相仿，用估計(jì)偏差的平方θ)2代替，并對(duì)其求均值，于是用E(θ)2來表示估計(jì)量的優(yōu)劣。　　一、點(diǎn)估計(jì)　　(一)點(diǎn)估計(jì)的概念　　設(shè)θ是總體的一個(gè)未知參數(shù)，記與總體對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X，從中抽取樣本量為n的一個(gè)樣本，X1，X2，…，Xn?！　≡谇皫坠?jié)中已經(jīng)闡明特定產(chǎn)品的質(zhì)量特性可以用隨機(jī)變量來表示，而它的量值包括變化規(guī)律則用相應(yīng)的分布來表示?！　　　?三)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布　　設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，它們的方差相等。　　三、有關(guān)正態(tài)總體的幾個(gè)重要的抽樣分布本小節(jié)進(jìn)一步討論來自正態(tài)總體樣本均值、樣本方差以及來自兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差及方差比的抽樣分布?！　∩厦娴慕Y(jié)果表明，樣本是總體均值μ的無偏估計(jì)，而它的方差與總體方差σ2成正比，但與樣本量n成反比?！　∧敲碭1+X2，max{X1，X2，…，Xn}是統(tǒng)計(jì)量，而X1+X22μ，(X1μ)/σ都不是統(tǒng)計(jì)量。某些人的傾向性會(huì)使所得樣本不是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，從而使最后的統(tǒng)計(jì)推斷失效。　　綜上兩點(diǎn)，隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn可以看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。如推斷總體是什么類型的分布?推斷總體均值為多少?推斷總體的標(biāo)準(zhǔn)差是多少?為了使此種統(tǒng)計(jì)推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對(duì)樣本的抽取應(yīng)有所要求。第四節(jié)常用統(tǒng)計(jì)量及其分布　　〔]絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時(shí)間X為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。　　　　均勻分布在兩端點(diǎn)a與b之間有一個(gè)平坦的概率密度函數(shù)，它的全稱是“在區(qū)間(a，b)上的均勻分布”，常記為U(a，b)?！　?2)某部件的清潔度X(單位:毫克)服從正態(tài)分布N(48，122)?！　?2)產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL，這些都是用文件形式對(duì)產(chǎn)品特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求、可能是公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)、也可能是企業(yè)下達(dá)的生產(chǎn)任務(wù)書?！　⌒再|(zhì)1:　　　　此性質(zhì)表明，任一個(gè)正態(tài)變量X(服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化變換(Xμ)/σ后都?xì)w一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U?！　∫话阏f來，對(duì)任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1α()?！　?2)P(Ua)=1Φ(a)，()。　　　　　　μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0，1)。例如，取出的8桶中有不多于3桶被污染的概率為:　　P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=+++=