【正文】 用數(shù)對(duì)(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。　　(3)定義事件C=“點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故P(C)=6/36 =1/6?！　?1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法?！　?3)排列:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素排成一列稱為一個(gè)排列。注意，這里的r允許大于n。　　例如，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因?yàn)槿〕龅?個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可作同樣理解。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個(gè)不合格品”，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n1個(gè)是合格品，可分二步來(lái)實(shí)現(xiàn)。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個(gè)樣本點(diǎn)。因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的。放回抽樣是抽一個(gè)，將其放回，均勻混合后再抽下一個(gè)?！　∈录﨎0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣方式隨機(jī)抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個(gè)不合格品中抽一次。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個(gè)不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當(dāng)m=n時(shí)，P(Bn)=(M/N)n?！　?二)統(tǒng)計(jì)定義　　用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；　　(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大??；　　(3)頻率fn(A)將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。其結(jié)果()表明。人們對(duì)各類的英語(yǔ)書刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。特別當(dāng)A與B不相容時(shí)，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對(duì)于多個(gè)互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)?！　⌒再|(zhì)6:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個(gè)等式成立要求P(B)0，第二個(gè)等式成立要求P(A)0?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來(lái)的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?！　?2)獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率　　設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。　　假如一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量?？捎秒S機(jī)變量X的取值來(lái)表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無(wú)瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過(guò)兩個(gè)”等等?！　?2)一臺(tái)電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺(tái)電視機(jī)在開箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過(guò)10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過(guò)40000小時(shí)”。類似地，檢驗(yàn)10個(gè)產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個(gè)值的離散隨機(jī)變量?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來(lái)敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的?！　±齕]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”:　　　　這些隨機(jī)變量X，Y都是各從一個(gè)側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個(gè)隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的，但其分布告訴我們每個(gè)隨機(jī)變量取值概率，使人們不僅對(duì)全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最?。弧　取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最??；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個(gè)概率都是非負(fù)的，其和均為1。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很多，分組很細(xì)時(shí)，連接直方圖中每個(gè)矩形上邊中點(diǎn)的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。　　地區(qū)(b)。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計(jì)算:　　順便指出，在計(jì)算面積時(shí)，一條直線的面積為零，譬如在這個(gè)例子中P(T=100)=0，即該推土機(jī)完成維修時(shí)間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個(gè)原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)?！　【涤脕?lái)表示分布的中心位置，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。方差的計(jì)算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對(duì)方差開方，記它的正平方根為σ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差:　　由于σ與X的單位相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差σ來(lái)表示分布散布大小，但它的計(jì)算還是要通過(guò)先計(jì)算方差，然后開方來(lái)獲得?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘。其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小?！　☆愃频兀瑢?duì)連續(xù)分布也有類似解釋，(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的?！　∽⒁?方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場(chǎng)合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說(shuō)，對(duì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個(gè)常用的離散分布，它們是二項(xiàng)分布、泊松分布與超幾何分布?！　?3)每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果，例如，正面與反面、合格與不合格、命中與不命中、具有某特性與不具有某特性，以下統(tǒng)稱為“成功”與“失敗”。類似可計(jì)算X=0，X=1，…，X=6的概率，計(jì)算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實(shí)際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零。假如改變成功概率p，其線條圖亦會(huì)改變?！　≡趯?shí)際中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項(xiàng)分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計(jì)算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項(xiàng)分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來(lái)描述不少隨機(jī)變量的概率分布。由于取這些值的概率的前三位小數(shù)皆為零，甚至更小，已無(wú)多大實(shí)際意義，故可不列出，當(dāng)作不可能事件處理?！　≡O(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品?，F(xiàn)把結(jié)果列表如下:　　　　這就是X的分布?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個(gè)參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)。固定均值μ時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如σ1σ2，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的位置相同，但形狀(高低與胖瘦)不同，(b)。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得?！　　　∮捎谥本€是沒(méi)有面積的，即直線的面積為零，故:　　P(U≤)=P(U)=Φ()=　　綜合上述，可得如下計(jì)算公式:　　P(U≤a)=P(Ua)=Φ(a)　　類似的計(jì)算公式還有一些，現(xiàn)羅列如下，圖形可幫助我們理解它?！　　　?5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()。　　后一種說(shuō)法有新意，(u)下的面積分為左右兩塊?！　‘?dāng)α，譬如α=，=。正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(你記住了嗎?　　〔]產(chǎn)品某個(gè)質(zhì)量特性X的不合格品率的計(jì)算要知道下列兩件事: 　　(1)質(zhì)量特性X的分布，在過(guò)程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ，σ2)，這是穩(wěn)定過(guò)程的概括?！　榱司唧w說(shuō)明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子。則其低于下規(guī)范限TL=76kΩ的概率和超過(guò)上規(guī)范限TU=84kΩ的概率分別為:　　故該電阻器的不合格品率p=pL+pU=?？估瓘?qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2?！　　　?三)其他連續(xù)分布　　正態(tài)分布是實(shí)際中最常用的分布，在質(zhì)量管理中也使用最頻繁，但在實(shí)際中還有很多非正態(tài)的連續(xù)分布也很有用，在質(zhì)量管理中最常用的是均勻分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個(gè)分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個(gè)分布將在下面介紹。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值?！　?4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對(duì)數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率，經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。　　總體是人們研究對(duì)象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，所得的觀測(cè)值隨個(gè)體而異，因此總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，即從樣本推斷總體?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其他樣本的抽取無(wú)任何影響，假如總體是無(wú)限的，獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時(shí)即使總體是有限的，此種抽樣獨(dú)立性也可得到基本保證。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體?！　　　〕闃忧屑筛蓴_，特別是人為干擾。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測(cè)值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示。　　[]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。事實(shí)上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來(lái)估計(jì)μ沒(méi)有用n=10的樣本的平均數(shù)來(lái)估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。當(dāng)X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴(yán)格正態(tài)的。　　當(dāng)σ已知時(shí)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)?！　　　?二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。本節(jié)著重討論參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來(lái)推斷總體分布的未知成分?！　?shù)估計(jì)有兩種基本形式，即點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)。當(dāng)然這種平均不能直接進(jìn)行，因?yàn)棣扔姓胸?fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差。但是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無(wú)偏的。對(duì)于無(wú)偏估計(jì)量，當(dāng)然方差愈小愈好。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬