【正文】 　　　　VbVcVfVgVhE(X1+X2)=E(X1)+E(X2)　　這個(gè)性質(zhì)可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量場(chǎng)合。這意味著:離均值E(X)近的值xi發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性小，(d)所示。現(xiàn)要問(wèn)這四個(gè)分布列中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小。還可證明，指數(shù)分布的均值E(T)與標(biāo)準(zhǔn)差σ(T)相等?！　　瞉現(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算〔]和〔]中兩個(gè)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。連續(xù)隨機(jī)變量這一性質(zhì)普遍成立，它給計(jì)算帶來(lái)方便?！　〉貐^(qū)(c)?！　　　　瞉考試得分是一個(gè)隨機(jī)變量，下面是三個(gè)不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()?！　　　「怕拭芏群瘮?shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。下面再將上述過(guò)程用另一種形式來(lái)進(jìn)行表述。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒。　　〔]設(shè)在10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)不合格品，若從中隨機(jī)取出4個(gè)，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機(jī)變量，它僅可取0，1，2等三個(gè)值?！　?一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。更一般的，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量。　　(3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量，或連續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是∞，b可以是+∞。第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布　　性質(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無(wú)條件)概率P(A)?！　　　‖F(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應(yīng)為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7?！　]設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)(4)來(lái)求，即:　　這表明在未來(lái)兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所有樣本點(diǎn)共有)個(gè)?！　　瞉拋三枚硬幣，至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點(diǎn)共有8個(gè)。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定。也是正面出現(xiàn)的概率。在實(shí)際中人們無(wú)法把一個(gè)試驗(yàn)無(wú)限次地重復(fù)下去、只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似概率?！　〖偃缃o定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場(chǎng)合來(lái)計(jì)算諸Bm的概率。這樣就有M(NM)n1種取法。這時(shí)要講究先后次序，現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率?！　](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過(guò)取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有　　種取法；第二步從NM個(gè)合格品中隨機(jī)取出n1個(gè)，共有　　種取法。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。這24種排列在組合中只算一種?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為104。按乘法原理，此種排列共有n(n1)…(nr+1)個(gè)，記為P＇n?！　±?，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?！　?4)定義事件D=“點(diǎn)數(shù)之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)?！　?2)某廠試制成功一種新止痛片在未來(lái)市場(chǎng)的占有率是多少呢?市場(chǎng)占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲得更多利潤(rùn)；市場(chǎng)占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會(huì)造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢(qián)去貯存與保管。但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性還是有大小之別，是可以設(shè)法度量的。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”。特別，必然事件Ω與不可能事件φ互為對(duì)立事件，即=φ，=Ω?！　?三)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算有下列四種。這時(shí)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，如在電視機(jī)壽命試驗(yàn)里，“電視機(jī)壽命小于1萬(wàn)小時(shí)”與“電視機(jī)壽命超過(guò)4萬(wàn)小時(shí)”是兩個(gè)互不相容事件，因?yàn)樗鼈儫o(wú)相同的樣本點(diǎn)，或者說(shuō)，它們不可能同時(shí)發(fā)生。　　(1)包含:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時(shí)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生?！　=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；　　B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；　　Ω=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；　　φ=“有三件不合格品”?！　　　]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”?！　?4)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對(duì)應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用Ω表示?！　　　碾S機(jī)事件的定義可見(jiàn)，事件有如下幾個(gè)特征:　　(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集?！　≌J(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道。第二節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)例如，在本例中，將每個(gè)數(shù)據(jù)減去15，即可大大減少計(jì)算量。使用最為廣泛的是用離差平方來(lái)代替離差的絕對(duì)值，因而數(shù)據(jù)的總波動(dòng)用離差平方和　　來(lái)表示，樣本方差定義為離差平方和除以n1，用s2表示:　　　　因?yàn)閚個(gè)離差的總和為0，所以對(duì)于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有n1個(gè)，稱n1為離差(或離差平方和)的自由度，因此樣本方差是用n1而不是用n除離差平方和?！　颖緲O差只利用了數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值，因此它對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用不夠充分，極差常用于n不大的情況?！　∷?、數(shù)據(jù)分散程度的度量　　一組數(shù)據(jù)總是有差別的，對(duì)一組質(zhì)量特性數(shù)據(jù)，大小的差異反映質(zhì)量的波動(dòng)。100個(gè)數(shù)據(jù)中，344出現(xiàn)的次數(shù)最多，為12次，因此Mod=344。　　注意，在此例中。它的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但缺點(diǎn)是它受極端值的影響比較大?！　　　　　?yīng)當(dāng)引起注意的是，如果我們觀測(cè)的數(shù)據(jù)量(即樣本量)n很大，而分組又很細(xì)，那么從頻率直方圖及累積頻率直方圖可以分別得到一根光滑曲線，關(guān)于這一點(diǎn)我們將在本章第三節(jié)詳細(xì)討論。　　(6)累積頻數(shù)和累積頻率直方圖　　還有另一種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率。到在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開(kāi)右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax。組距相等的情況用得比較多，不過(guò)也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距?！　∫慌鷶?shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過(guò)這也不是絕對(duì)的。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明直方圖的概念及其作法?！　《㈩l數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律。但有時(shí)為了表達(dá)的方便，當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體，而把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體，把從總體中抽出的由n個(gè)產(chǎn)品的特性值x1，x2，…，xn看做為一個(gè)樣本。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來(lái)進(jìn)行觀測(cè)。總體是由個(gè)體組成的。例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征。375 / 376第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)這里的特性可以是定量的，也可以是定性的。例如某個(gè)工廠在一個(gè)月內(nèi)按照一定材料及一定工藝生產(chǎn)的一批燈泡。但是如果總體中的個(gè)體數(shù)N很大，甚至是無(wú)限的，或者觀測(cè)是破壞性的或觀測(cè)的費(fèi)用很大，那么不可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)?！　∩鲜隹傮w、個(gè)體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念，從上面的敘述中，這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。為使抽取的樣本對(duì)總體有代表性，樣本不能是有選擇的，最好應(yīng)是隨機(jī)抽取的，關(guān)于這一點(diǎn)，以后我們還要詳細(xì)解釋。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法?！　?2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。組距可以相等，也可以不相等?！　?3)確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值?！　　　?5)作頻數(shù)頻率直方圖　　在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)(頻率)為高畫(huà)一個(gè)矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)(頻率)直方圖。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。　　可以從直方圖獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍，以及它們的集中位置和分散程度等信息?！　?一)樣本均值　　樣本均值也稱樣本平均數(shù)，記為，它是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù):　　　　[]軸直徑的一個(gè)n=5的樣本觀測(cè)值(單位:cm)為:，則樣本均值為:　　=++++)= 對(duì)于n較大的分組數(shù)據(jù)，可利用將每組的組中組x＇i用頻率fi加權(quán)計(jì)算近似的樣本均值:　　〔]，100個(gè)罐頭的凈量的均值按分組計(jì)算為:　　=333+…+357 =34508/100=　　樣本均值是使用最為廣泛的反映數(shù)據(jù)集中位置的度量?！　颖局形粩?shù)定義為有序樣本中位置居于中間的數(shù)值，具體地說(shuō):　　　　〔]，得到如下有序樣本:　　， 這里n=5為奇數(shù)，(n+1)/2=3，因而樣本中位數(shù)Me=x(3)=?！　?三)樣本眾數(shù)　　樣本眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值，常記為Mod。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大。對(duì)于有序樣本，極差R為:　　R=x(n)x(1)()　　，5個(gè)軸直徑數(shù)據(jù)的極差R==。當(dāng)然可以先將其取絕對(duì)值，再進(jìn)行平均，這就是平均絕對(duì)差:　　　　但是由于對(duì)絕對(duì)值的微分性質(zhì)較差，理論研究較為困難，因此平均絕對(duì)差使用并不廣泛。　　　　　　為計(jì)算方便，可以將數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，這樣不影響樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果?！　佊矌?、擲骰子是兩個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象?！　‰S機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中到處可見(jiàn)?！　?二)隨機(jī)事件　　隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，常用大寫(xiě)字母A、B、C等表示，如在擲一顆骰子時(shí)，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件，它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)組成，若記這個(gè)事件為A，則有A={1，3，5}?！　?3)事件A的表示可用集合，也可用語(yǔ)言，但所用語(yǔ)言應(yīng)是明確無(wú)誤的。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)7點(diǎn)”就是一個(gè)不可能事件。下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示?！　=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；　　C2=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；　　C0=“沒(méi)有一件是不合格品”={(0，0，0)}；　　　　實(shí)際中，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中常會(huì)遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系?！　?2)互不相容:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B沒(méi)有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B互不相容。如在擲兩顆骰子的隨機(jī)現(xiàn)象中，其樣本點(diǎn)記為(x，y，其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，定義如下兩個(gè)事件:　　A={(x，y):x+y=奇數(shù)}　　B={(x，Y):x與y的奇偶性不同}可以驗(yàn)證A=B。對(duì)立事件是相互的，A的對(duì)立事件是，的對(duì)立事件必是A。　　(3)事件A與B的交，由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交，記為A∩B或AB。　　　　(四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量　　隨機(jī)事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的。足球裁判就是用拋硬幣的方法讓雙方隊(duì)長(zhǎng)選擇場(chǎng)地，以示機(jī)會(huì)均等。一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P(A)來(lái)表示?！　?一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；　　(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可