【正文】 曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1?！　?　　　　地區(qū)(a)。實際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時間，或發(fā)生故障后需要維修的時間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機發(fā)生故障后的維修時間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)。　　三、隨機變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　隨機變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　》讲钣脕肀硎痉植嫉纳⒉即笮?，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中。類似地可以算得“擲兩顆骰子，6點出現(xiàn)個數(shù)X”的均值為1/3?！　　瞉看圖識方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。若要方差小，則和式中每一項都要小?！　?從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。X2)=Var(X1)+Var(X2)　　這個性質(zhì)也可推廣到三個或更多個相互獨立隨機變量場合?！　?2)n次試驗間相互獨立，即一次試驗結(jié)果不對其他次試驗結(jié)果產(chǎn)生影響?，F(xiàn)研究如下幾個問題:　　(1)恰有1個不合格品的概率是多少?這里規(guī)定抽到不合格品為“成功”，則事件X=1的概率為:　　這表明。從此圖上可以看出分布的形態(tài)，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小?！　　　?2)不超過1個不合格品的概率為:　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=　　這表明?！　?1)在一個月內(nèi)發(fā)生1起重大事故的概率為:　　類似地也可計算X取其他值的概率，現(xiàn)羅列于如下分布列中:　　　　對泊松分布來說，X可以取8，9，…等值?！　?3)泊松分布P()的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=Var(X)=，σ(X)==　　　　從一個有限總體中進行不放回抽樣常會遇到超幾何分布?！　〗?按題意知，X服從超幾何分布h(n，N，M)，其中N=20，M=5，n=8，r=min(n，M)=5，所求的分布為:　　當(dāng)X=0時，可算得:　　X=1時，可算得:　　類似可算得X=2，3，4，5的概率。　　　　正態(tài)分布的概率密度函數(shù)有如下形式:　　它的圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線?！　」潭?biāo)準(zhǔn)差σ時，不同的均值，如μ1μ2，對應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，(a)?！　嶋H中很少有一個質(zhì)量特性(隨機變量)的均值恰好為0，方差與標(biāo)準(zhǔn)差恰好為1。根據(jù)u的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(附表11)上查得，例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得　　P(U≤)=Φ()=　　，()?！　?4)P(a≤U≤b)=Φ(b)Φ(a)()?！　?2)(0，1)，也稱為90%分位數(shù)或90百分位數(shù)?！　?，即50%分位數(shù)，也稱為中位數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)場合，=0。　　　　現(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計算。譬如:　　若X～N(10，22)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　若Y～N(2，)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　?！　　　「鶕?jù)性質(zhì)2中(3)，讓區(qū)間端點隨著標(biāo)準(zhǔn)化變換而變化，最后可得:　　　　從這個例子可以看到標(biāo)準(zhǔn)化變換在正態(tài)分布計算中的作用，數(shù)不清的各種正態(tài)分布計算都可通過一張標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來實現(xiàn)，關(guān)鍵在于標(biāo)準(zhǔn)化變換。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得?，F(xiàn)從現(xiàn)場得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=，標(biāo)準(zhǔn)差σ=。　　(3)某金屬材料的抗拉強度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N(38，)。kσ，其中k為某個實數(shù)，則有:　　合格品率=P(|Xμ|≤kσ)=2Φ(k)1；　　不合格品率=P(|Xμ|kσ)=2〔1Φ(k)]；　　對k=1，2，3，4，5，6，可通過查附表12算得上述各種概率，其中不合格品率用ppm(106)單位表示，特別過小的不合格品率更是如此?！　　　　　±?，一個隨機變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　　　對數(shù)正態(tài)分布可用來描述很多隨機變量的分布，如化學(xué)反應(yīng)時間、絕緣材料被擊穿時間、產(chǎn)品維修時間等都是服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量。　　　　(3)最重要的特征是:若隨機變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量?！　∥?、中心極限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計中常用到的一個結(jié)論。中心極限定理表明，當(dāng)n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進的概率這個工具。　　再來討論樣本，一個樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個個體，這n個樣本觀測值x1，x2，…，xn可以看成為隨機變量X的n次實現(xiàn)值?！　?1)隨機性?！　?2)獨立性。在實際中抽樣時，也應(yīng)按此要求從總體中進行抽樣。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對集中些。樣本的觀測值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)。　　不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。只有樣本眾數(shù)例外，因為樣本眾數(shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計量。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)。　　[]下面50個數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機抽取出來的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機數(shù)產(chǎn)生法用計算機得到)，按行分為10組，每組5個數(shù)據(jù):　　1)，；　　2)，；　　3)，；　　4)，；　　5)，；　　6)，；　　7)，；　　8)，；　　9)，；　　10)，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每兩行數(shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個樣本的均值分別為:　　， 。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當(dāng)n大時，近似N(μ，σ2/n)?！　?一)方差未知時，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實際中并不能立即就可應(yīng)用。當(dāng)自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度?！　「鶕?jù)樣本對總體進行推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，參數(shù)估計與假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本內(nèi)容。這些都需要通過從總體中取樣本，從樣本觀測值來對此進行估計。例如二項分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對p進行了估計，均值的估計也就完全解決了。對一個具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計算的一個具體的數(shù)值，稱為θ的估計值。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本，的不同具體估計值，對實際偏差θ進行“平均”。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的?！　?)式中的第二項表示的是對其均值E()差的平方的均值，稱為估計量的方差?！　?三)求點估計的方法——矩法估計　　參數(shù)估計時，一個直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本方差作為總體方差的估計等。例如對任何總體，樣本均值對總體均值μ的估計總是無偏的，樣本方差s2對總。因此上面的做法是用樣本矩估計相應(yīng)的總體矩，從而獲得有關(guān)總體參數(shù)的點估計，這種點估計方法稱為矩法估計。方差愈小，估計量就更有效。無偏性是表示估計量優(yōu)良性的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。與以前對方差處理的方法相仿，用估計偏差的平方θ)2代替，并對其求均值，于是用E(θ)2來表示估計量的優(yōu)劣。　　(二)點估計優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)　　點估計量是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個隨機變量，評價一個估計量的優(yōu)劣不能從一個具體樣本獲得的估計值來評判，應(yīng)該從多次使用中來評定。　　一、點估計　　(一)點估計的概念　　設(shè)θ是總體的一個未知參數(shù)，記與總體對應(yīng)的隨機變量為X，從中抽取樣本量為n的一個樣本，X1，X2，…，Xn。例如若產(chǎn)品某個特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對它們進行估計。　　在前幾節(jié)中已經(jīng)闡明特定產(chǎn)品的質(zhì)量特性可以用隨機變量來表示，而它的量值包括變化規(guī)律則用相應(yīng)的分布來表示?！　　　　　?三)兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布　　設(shè)有兩個獨立的正態(tài)總體N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，它們的方差相等?！　∽杂啥葹閚1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(0，1)的兩側(cè)尾部略粗一些?！　∪?、有關(guān)正態(tài)總體的幾個重要的抽樣分布本小節(jié)進一步討論來自正態(tài)總體樣本均值、樣本方差以及來自兩個正態(tài)總體樣本均值差及方差比的抽樣分布。實際上這個數(shù)字也是將上述數(shù)據(jù)看做為n=50的一個樣本均值?！　∩厦娴慕Y(jié)果表明，樣本是總體均值μ的無偏估計，而它的方差與總體方差σ2成正比，但與樣本量n成反比。注意作為一個統(tǒng)計量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。　　那么X1+X2，max{X1，X2，…，Xn}是統(tǒng)計量，而X1+X22μ，(X1μ)/σ都不是統(tǒng)計量?！　《?、統(tǒng)計量與抽樣分布　　(一)統(tǒng)計量的概念　　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息。某些人的傾向性會使所得樣本不是簡單隨機樣本，從而使最后的統(tǒng)計推斷失效。圖上用虛線畫出的曲線是兩個未知總體。　　綜上兩點，隨機樣本X1，X2，…，Xn可以看做n個相互獨立的、同分布的隨機變量，其分布與總體分布相同。譬如，按隨機性要求抽出5個樣品，記為X1，X2，…，X5，則其中每一個都應(yīng)與總體分布相同。如推斷總體是什么類型的分布?推斷總體均值為多少?推斷總體的標(biāo)準(zhǔn)差是多少?為了使此種統(tǒng)計推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對樣本的抽取應(yīng)有所要求。這個隨機變量的分布也就是總體的分布。第四節(jié)常用統(tǒng)計量及其分布中心極限定理較完整的敘述如下:　　設(shè)X1，X2，…，Xn為n個相互獨立同分布隨機變量，均值μ和方差σ2都存在，則在n較大時，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N(μ，)?！　　瞉絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時間X為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機變量?！　?2)這些隨機變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))?！　　　【鶆蚍植荚趦啥它ca與b之間有一個平坦的概率密度函數(shù)，它的全稱是“在區(qū)間(a，b)上的均勻分布”，常記為U(a，b)。故其不合格品率為:　　p=pL=P(X33)=Φ()==%　　在抗拉強度上，%?！　?2)某部件的清潔度X(單位:毫克)服從正態(tài)分布N(48，122)?！　?1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80177?！　?2)產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL，這些都是用文件形式對產(chǎn)品特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求、可能是公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)、也可能是企業(yè)下達的生產(chǎn)任務(wù)書。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得?！　⌒再|(zhì)1:　　　　此性質(zhì)表明，任一個正態(tài)變量X(服從正態(tài)分布的隨機變量)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化變換(Xμ)/σ后都?xì)w一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U。=，=，==()。　　一般說來，對任意介于0與1之間的實數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的α分位數(shù)是這樣一個數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1α()?！　　　?0，1)的分位數(shù)分位數(shù)是一個基本概念，這里結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)來敘述分位數(shù)概念?！　?2)P(Ua)=1Φ(a)，()。這里將先介紹標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用，分以下幾點敘述?！　　　　　ˇ?0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0，1)。其中μ為正態(tài)分布的均值，它是正態(tài)分布的中心。例如，取出的8桶中有不多于3桶被污染的概率為:　　P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=+++=　　　　最后，還可算得此超幾何分布h(8，20，5)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。若從中隨機不放回地抽取n個產(chǎn)品，則其中不合格品的個數(shù)X是一個離散隨機變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若nM，則X可能取0，1，…，M，由古典方法()可以求得X=x的概率是:　　其中r=min(n，M)，這個分布稱為超幾何分布，記為h(n，N，M)。也可把此8個概率畫一張線條圖。例如:　　(1)在一定時間內(nèi)，電話總站接錯電話的次數(shù)；　　(2)在一定時間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生的故障數(shù)；　　(3)一個鑄件上的缺陷數(shù)；　　(4)一平方米玻璃上氣泡的個數(shù)；　　(5)一件產(chǎn)品被擦傷留下的痕跡個數(shù)；　　(6)一頁書上的錯字個數(shù)。譬如連拋六次硬幣，其中正面出現(xiàn)次數(shù)X～b(6，)?！　∵€可以畫出一張線條圖((a))來表示這個分布(7個概率)?！　?4)每次試驗成功的概率均為p，失敗的概率均為1p?！　　　∥覀儊砜疾煊蒼次隨機試驗組成的隨機現(xiàn)象，它滿足如下條件:　　(1)重復(fù)進行n次隨機試驗?！　【蹬c方差的運算性質(zhì):　　(1)設(shè)X為隨機變量，與b為任意常數(shù)，則有:　　E(aX+b)=aE(X)+b　　Var(aX+b)=a2 Var(X)　　(2)對任意兩個隨機變量X1與X2，有: