【正文】 由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無偏的。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布?！　‘?dāng)σ已知時(shí)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計(jì)μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測(cè)值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣?！　】傮w是人們研究對(duì)象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，所得的觀測(cè)值隨個(gè)體而異，因此總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值?？估瓘?qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。　　為了具體說明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(　　當(dāng)α，譬如α=，=?！　　　?5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個(gè)參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)?！　≡O(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品?！　≡趯?shí)際中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項(xiàng)分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計(jì)算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項(xiàng)分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。類似可計(jì)算X=0，X=1，…，X=6的概率，計(jì)算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實(shí)際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　∽⒁?方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場(chǎng)合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說，對(duì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量來說，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個(gè)常用的離散分布，它們是二項(xiàng)分布、泊松分布與超幾何分布。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘。　　均值用來表示分布的中心位置，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。　　地區(qū)(b)。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的?！　?2)一臺(tái)電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺(tái)電視機(jī)在開箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過40000小時(shí)”?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量。　　(2)獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率　　設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)。特別當(dāng)A與B不相容時(shí)，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對(duì)于多個(gè)互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。其結(jié)果()表明。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個(gè)不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當(dāng)m=n時(shí)，P(Bn)=(M/N)n。放回抽樣是抽一個(gè)，將其放回，均勻混合后再抽下一個(gè)。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個(gè)樣本點(diǎn)。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可作同樣理解。注意，這里的r允許大于n。　　(1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法。　　(一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；　　(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可用數(shù)對(duì)(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。足球裁判就是用拋硬幣的方法讓雙方隊(duì)長選擇場(chǎng)地，以示機(jī)會(huì)均等?！　?3)事件A與B的交，由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交，記為A∩B或AB。如在擲兩顆骰子的隨機(jī)現(xiàn)象中，其樣本點(diǎn)記為(x，y，其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，定義如下兩個(gè)事件:　　A={(x，y):x+y=奇數(shù)}　　B={(x，Y):x與y的奇偶性不同}可以驗(yàn)證A=B?！　=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；　　C2=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；　　C0=“沒有一件是不合格品”={(0，0，0)}；　　　　實(shí)際中，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中常會(huì)遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)7點(diǎn)”就是一個(gè)不可能事件。　　(二)隨機(jī)事件　　隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示，如在擲一顆骰子時(shí)，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件，它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)組成，若記這個(gè)事件為A，則有A={1，3，5}?！　佊矌?、擲骰子是兩個(gè)最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象?！　　　　　橛?jì)算方便，可以將數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，這樣不影響樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于有序樣本，極差R為:　　R=x(n)x(1)()　　，5個(gè)軸直徑數(shù)據(jù)的極差R==?！　?三)樣本眾數(shù)　　樣本眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值，常記為Mod?！　?一)樣本均值　　樣本均值也稱樣本平均數(shù)，記為，它是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù):　　　　[]軸直徑的一個(gè)n=5的樣本觀測(cè)值(單位:cm)為:，則樣本均值為:　　=++++)= 對(duì)于n較大的分組數(shù)據(jù)，可利用將每組的組中組x＇i用頻率fi加權(quán)計(jì)算近似的樣本均值:　　〔]，100個(gè)罐頭的凈量的均值按分組計(jì)算為:　　=333+…+357 =34508/100=　　樣本均值是使用最為廣泛的反映數(shù)據(jù)集中位置的度量。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率?！　?3)確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值?！　?2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。為使抽取的樣本對(duì)總體有代表性，樣本不能是有選擇的，最好應(yīng)是隨機(jī)抽取的，關(guān)于這一點(diǎn)，以后我們還要詳細(xì)解釋。但是如果總體中的個(gè)體數(shù)N很大，甚至是無限的，或者觀測(cè)是破壞性的或觀測(cè)的費(fèi)用很大，那么不可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)。這里的特性可以是定量的，也可以是定性的。例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來進(jìn)行觀測(cè)?！　《㈩l數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡單起見，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律?！　∫慌鷶?shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax?！　?6)累積頻數(shù)和累積頻率直方圖　　還有另一種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率。它的計(jì)算比較簡單，但缺點(diǎn)是它受極端值的影響比較大。100個(gè)數(shù)據(jù)中，344出現(xiàn)的次數(shù)最多，為12次，因此Mod=344?！　颖緲O差只利用了數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值，因此它對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用不夠充分，極差常用于n不大的情況。例如，在本例中，將每個(gè)數(shù)據(jù)減去15，即可大大減少計(jì)算量。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道?！　　　碾S機(jī)事件的定義可見，事件有如下幾個(gè)特征:　　(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集?！　　　]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”。　　(1)包含:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時(shí)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生?！　?三)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算有下列四種。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”?！　?2)某廠試制成功一種新止痛片在未來市場(chǎng)的占有率是多少呢?市場(chǎng)占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲得更多利潤；市場(chǎng)占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會(huì)造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢去貯存與保管。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同?！　±纾壮堑揭页怯?條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為104。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M。這時(shí)要講究先后次序，現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率。　　假如給定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場(chǎng)合來計(jì)算諸Bm的概率。也是正面出現(xiàn)的概率?！　　瞉拋三枚硬幣，至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點(diǎn)共有8個(gè)。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)(4)來求，即:　　這表明在未來兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7?！　⌒再|(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量，或連續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是∞，b可以是+∞。　　(3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品。　　(一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率，