【正文】 x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時, 點M(x, y)從L的起點A沿L運(yùn)動到終點B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a163。 (4)計算定積分. 167。d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a163。0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a163。 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)163。 整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為。5. 知道散度與旋度的概念，并會計算。2. 掌握計算兩類曲線積分的方法。 對弧長的曲線積分 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長)。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}, 如果當(dāng)l174。b), 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j162。y163。qa). 于是 =R3(asina cosa). 例3 計算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分。 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長度的最大值. 提示: 用Dsi={Dxi,Dyi}表示從Li的起點到其終點的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個有向小弧段L1, L2, , Ln。(t)}, 所以,從而 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對應(yīng)于L的起點, 上限b 對應(yīng)于L的終點, a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計算? 提示: , 其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 例題: , 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, 1)到點B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0。j2(x), a163。0時, 有. 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(dāng)(0, 0)207。219。0時, 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對面積的曲面積分的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c c 2為常數(shù), 則 。 當(dāng)(v,^n)時, Avn0, 這時我們?nèi)园袮vn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量, 它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向n所指一側(cè), 且流向n所指一側(cè)的流量為Avn. 因此, 不論(v,^n)為何值, 流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn . 把曲面S分成n小塊: DS1, DS2, , DSn(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在S是光滑的和v是連續(xù)的前提下, 只要DSi的直徑很小, 我們就可以用DSi上任一點(xi, hi, zi )處的流速 vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k代替DSi上其它各點處的流速, 以該點(xi, hi, zi )處曲面S的單位法向量 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k代替DSi上其它各點處的單位法向量. 從而得到通過DSi流向指定側(cè)的流量的近似值為 viniDS i (i=1, 2, ,n) 于是, 通過S流向指定側(cè)的流量 , 但 cosaiDSi187。(DSi)xy ,所以 viniDSi187。0取上式兩端的極限, 就得到 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時, 有 . 因為當(dāng)S取上側(cè)時, cosg0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 當(dāng)(xi, hi, zi)206。 前后面分別記為S3和S4。a, 0163。 S4: x=0 (0163。z163。0的部分. 解 把有向曲面S分成以下兩部分: : (x179。10. 6 高斯公式 通量與散度 一、高斯公式 定理1設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 或 , 簡要證明 設(shè)W是一柱體, 上邊界曲面為S1: z=z2(x, y), 下邊界曲面為S2: z=z1(x, y), 側(cè)面為柱面S3, S1取下側(cè), S2取上側(cè)。z163。h 2)的上側(cè), 則S與S1一起構(gòu)成一個閉曲面, 記它們圍成的空間閉區(qū)域為W, 由高斯公式得 提示: . 而 ,因此 . 提示: 根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性, . . 例3 設(shè)函數(shù)u(x, y, z)和v(x, y, z)在閉區(qū)域W上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明 , 其中S是閉區(qū)域W的整個邊界曲面, 為函數(shù)v(x, y, z)沿S的外法線方向的方向?qū)?shù), 符號, 稱為拉普拉斯算子. 這個公式叫做格林第一公式. 證: 因為方向?qū)?shù) , 其中cosa、cosb、cosg是S在點(x, y, z)處的外法線向量的方向余弦. 于是曲面積分 . 利用高斯公式, 即得 , 將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式. 二、通量與散度 高斯公式的物理意義: 將高斯公式 改寫成 , 其中vn=vn=Pcosa +Qcosb +Rcosg, n={cosa , cosb , cosg}是S在點(x, y, z)處的單位法向量. 公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域W的流體的總質(zhì)量, 左端可解釋為分布在W內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量. 散度: 設(shè)W的體積為V, 由高斯公式得 , 其左端表示W(wǎng)內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值. 由積分中值定理得 . 令W縮向一點M(x, y, z)得 . 上式左端稱為v在點M的散度, 記為divv, 即 . 其左端表示單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量. 一般地, 設(shè)某向量場由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 給出, 其中P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), S是場內(nèi)的一片有向曲面, n是S上點(x, y, z)處的單位法向量, 則叫做向量場A通過曲面S向著指定側(cè)的通量(或流量), 而叫做向量場A的散度, 記作div A, 即 . 高斯公式的另一形式: , 或, 其中S是空間閉區(qū)域W的邊界曲面, 而 An=An=Pcosa+Qcosb+Rcosg是向量A在曲面S的外側(cè)法向量上的投影. 167。0)的上側(cè), : (x179。x163。b, 0163。b)的下側(cè)。x163。x163。(P(x, y, z)cosa+Q(x, y, z)cosb +R(x, y, z)cosg )DS . 如果把曲面S分成n小塊si(i=1, 2, (DSi)zx , cosgiDSi187。 (3)設(shè)在曲面S上f(x,