【正文】 1, 0163。1(x179。c)的右側(cè)。 S5: y=0 (0163。b, 0163。b)的上側(cè)。b, 0163。 , n), 單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 m. 按對面積的曲面積分的定義, . 舍去流體這個具體的物理內(nèi)容, 我們就抽象出如下對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 定義 設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點(diǎn). 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值. 這樣的極限還會在其它問題中遇到. 抽去它們的具體意義, 就得出下列對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 提示: 把DSi看成是一小塊平面, 其法線向量為ni, 則通過DSi流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積. 此斜柱體的斜高為|vi|, 高為|vi|cos(vi,^ni)=vini, 體積為viniDSi .因?yàn)?ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, viniDSi=[P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgi]DSi , 而 cosaiDSi187。a2h2. 因?yàn)? , , , 所以 . 提示: . 例2 計(jì)算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面. 解 整個邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 167。10. 4 對面積的曲面積分 一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 即, 其中l(wèi)的方向取順時針方向. 于是 =2p.分析: 這里, , 當(dāng)x2+y2185。y163。 AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計(jì)算, 其中G是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比, F的方向恒指向原點(diǎn). 此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點(diǎn)B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下從點(diǎn)A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點(diǎn)B(0, b), F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比, 方向恒指向原點(diǎn). 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(diǎn)(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. 167。b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡要證明: 不妨設(shè)a163。于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), {cost, sint}是曲線L在點(diǎn)(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把L分成n個小弧段: L1, L2, , Ln。b), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0, 0)與點(diǎn)B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0163。b), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a163。t163。0, 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時也會遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點(diǎn)列M1, M2, , Mn1把L分在n個小段. 設(shè)第i個小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值l174。 教學(xué)重點(diǎn): 兩類曲線積分的計(jì)算方法； 格林公式及其應(yīng)用； 兩類曲面積分的計(jì)算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。高等數(shù)學(xué)教案 167。 教學(xué)難點(diǎn)： 兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系； 對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分； 應(yīng)用高斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲面積分； 應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分。0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長。b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a163。x163。x163。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。b. 對應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{j162。 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 單連通與復(fù)連通區(qū)域: 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 對平面區(qū)域D的邊界曲線L, 我們規(guī)定L的正向如下: 當(dāng)觀察者沿L的這個方向行走時, D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊. 區(qū)域D的邊界曲線的方向: 定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 其中L是D的取正向的邊界曲線. 簡要證明: 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明. 設(shè)D={(x, y)|j1(x)163。d}. 類似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 解: 設(shè)D是由橢圓x=acosq , y=bsinq 所圍成的區(qū)域. 令, , 則. 于是由格林公式, =pab. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線, 證明 . 證: 令P=2xy, Q=x2, 則. 因此, 由格林公式有. (為什么二重積分前有“177。0時, 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線, 則有 , 因?yàn)? 219。 求質(zhì)量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn))。10.